» Mathematica (математика)

Цитата:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing

Тут наверное лучше написано, но сейчас разбираться нет времени.
Но по логике надо рассматривать варианты упаковки, заменяя круг многоугольниками: треугольник, квадрат (именно про него мне пришла в голову идея, когда я писал тот пост, но она оказалась не верная), пяти-, шести- и тд-угольник, и вообще говоря не обязательно правильными (по крайней мере сразу неочевидно, хотя и вероятно - или невероятно, если реально не решена).

В принципе, то что надо нашел (включая код)
Cubic Close Packing
Sphere Packing

а можно ли как-нибудь представить результат в виде обычных (не многоэтажных) дробей?
полазил по справке - ничего не нашел.

kyznez1
Надо "посчитать" - N

Сейчас выбираю, скольки ядерный процессор (2/3/4) взять; основной критерий выбора — соотношение увеличения скорости расчётов именно в Mathematica с ценой. Какой прирост скорости даст каждое дополнительное ядро?

В основном приходится иметь дело с численным интегрированием, решением (систем) уравнений (обычно, с точностями выше, чем по-умолчанию) для создания списков (через Table) для их дальнейшего графического построения. Насколько хорошо Mathematica распараллеливает вычисления? Или насколько хорошо можно сделать распараллеливание, и сколько для этого понадобится усилий?

Может быть у кого-нибудь есть такой опыт? Или где-то в интернете есть тесты (я не нашёл)?

Спасибо!

TomasVercetti

Цитата:

Насколько хорошо Mathematica распараллеливает вычисления?

Не слишком хорошо: реализация распараллеливания выполнена простейшим и тупейшим способом. Распараллелить она может только то, что можно распараллелить вручную, запустив соответствующее количество копий Mathematica и в каждой выполняя соответствующую порцию кода. Такие функции, как NSolve, конечно, распараллелены быть не могут. Да и вообще: всё это встроенное распараллеливание - просто надстройка над встроенными функциями, ранее оно было отдельным пакетом, теперь он интегрирован в кернел.
С точки зрения эффективности намного лучше иметь один мощный процессор, чем 2 маломощных, поскольку это распараллеливание кушает само по себе немало процессорного времени. Для задач малого масштаба оно может приводить к снижению производительности, вместо роста (пример).

У меня Mathematica 7 не распараллеливает даже вычисления таблиц (ParallelTable), где фигурируют функции, содержащие численные интегралы и суммы. Хотя казалось бы, что может быть проще: взять и разбить таблицу на части и каждую считать своим процессором.

Griefin
Думаю, эта проблема как раз решаема, если обойтись без ParallelTable, а использовать что-то вроде ParallelSubmit. Сам с распараллеливанием не работаю, поэтому большего не скажу.

Кстати, странно, что там параллельных версий функций построения графиков нет. Вот уж что надо было в первую очередь сделать. ParallelSubmit наверное поможет, спасибо.

Griefin

Цитата:

Кстати, странно, что там параллельных версий функций построения графиков нет.

Как я уже сказал, все функции параллелизации - не более, чем обёртка над базовыми функциями. В случае Plot параллелизация невозможна, т.к. задачу построения Plot нельзя разбить на 2 задачи построения Plot (т.е. вручную с помощью ParallelSubmit можно, конечно, но число вычислений значений функции при этом увеличится).

Добавлено:
В общем, реализация параллелизации в Mathematica сделана тупейшим и наименее эффективным образом, прямо противоположно надеждам пользователей. Можно сказать, что разработчики прохалявили, поленились реализовать внутреннюю параллелизацию путём переписывания кода встроенных функций. И вряд ли сделают это в ближайшем будущем. Зато разрекламировали новую версию ещё и "встроенной параллелизацией", повышая продажи.

popkov
Я не вижу принципиальных ограничений для параллелизма в функции Plot. Она делает фактически следующее: вычисляет таблицу значений {{x_1, f(x_1)},...,{x_2, f(x_2)}} и делает рекурсивные разбиения внутри интервалов, пока приращение функции f(x_n) - f(x_{n-1}) не будет меньше некоторой величины (скорее всего ее сравнивают с приращением аргумента) или пока число разбиений не станет равным MaxRecursion. Таблицу значений можно разрезать и раскидать на несколько процессоров, рекурсивные разбиения -- тоже.

Griefin
Можно. Но для этого надо модифицировать функцию Plot, добавив в неё параллелизацию. А с существующей версией единственное решение - разбитие интервала на 2 части и построение в каждом кернеле своего Plot'а, затем объединение. Однако, как я понимаю, при этом несколько возрастёт число вычислений значений функции (хотя при грамотном указании параметров, возможно, и нет). Алгоритмы очень многих, если не большинства функций Mathematica, допускают распараллеливание в принципе. Но пакет параллелизации вовсе не занимается добавлением в эти алгоритмы таких возможостей, а всего лишь подразбивает задачу на части, выполняемые разными ядрами, в тех случаях, когда это можно сделать очевидным образом.

Благодарю всех за ответы. Посмотрел ссылки, поискал ещё в интернете — на самом деле, встроенная реализация разочаровывает. Но, вроде бы, ручками можно распараллелить достаточно эффективно: как я понял, какое-либо вычисление можно отнести к конкретному ядру; поэтому, даже если M. не будет распараллеливать численное интегрирование и решение уравнения, куда входят эти интегралы, то эти вычисления для различных наборов параметров можно разнести по различным ядрам, а результаты записывать в один список. Или я не прав?

TomasVercetti

Цитата:

как я понял, какое-либо вычисление можно отнести к конкретному ядру; поэтому, даже если M. не будет распараллеливать численное интегрирование и решение уравнения, куда входят эти интегралы, то эти вычисления для различных наборов параметров можно разнести по различным ядрам, а результаты записывать в один список. Или я не прав?

Всё верно.

Есть такая проблема. Хочу написать функцию, которая бы присваивала некой глобальной переменной значение только, если она ранее не была определена. Однако, такой код почему-то не работает
If[Definition[var]==Null, var = 3];
Definition[var]==Null всегда возвращает Indeterminate. Это странно.

Добавлено:
Условие NumberQ[var] работает только если переменной присвоено число, а если var является функцией, не помогает.

Griefin
Дело в том, что Definition[var] возвращает не Null, а InterpretationBox:
Cell[BoxData[
InterpretationBox["Null",
Definition[$CellContext`var],
Editable->False]], "Output",
CellChangeTimes->{3.4650867423239994`*^9,
3.465086783839624*^9}]

Следующий код работает правильно:
ToString[Definition[f]] === "Null"

Но это, конечно, обходной путь. "Красивое" решение могут подсказать в группе новостей.

Здравствуйте!

Есть вопрос по передаче переменных в функцию, используемую в подинтегральном выражении NIntegrate, по которым не ведется интегрирование...
Собственно, вот тестовый код:

f[a_, b_] := NIntegrate[a*x + b, {x, 0, 1}];
g[a_] := NIntegrate[f[a, y]/(1 + f[a, y]), {y, -1, 1}];

При попытке счета, получаем:

In[23]:=
g[2]

From In[23]:=
NIntegrate::inum: Integrand 2 x + y is not numerical at {x} = {0.5`}.

Out[23]=
0.901388

Т.е. судя по в функцию f передается не кокретное значение b, а y, как параметр... Что делать? По советам, найденным в сети вставил проверку переменных в определние функции f:
f[(a_)?NumericQ, (b_)?NumericQ] := NIntegrate[a*x + b, {x, 0, 1}]

Результат тот же...

Я бы, может, и плюнул на это предупреждение - счет оно не останавливает и тестовые результаты похожи на правду. НО "настоящая" функция гораздо сложнее и вложенных интегралов тоже больше, поэтому неочевидно, как эти предупреждения скажутся на "реальных" результатах

Спасибо за ответы!

exTail
Попробуй так:
f[(a_)?NumericQ, (b_)?NumericQ] := NIntegrate[a*x + b, {x, 0, 1}];
g[a_] := NIntegrate[Hold[f[a, y]/(1 + f[a, y])], {y, -1, 1}];

In[3]:= g[2]

Out[3]= 0.901388

У меня работает без ошибок...

Цитата:

Попробуй так:
f[(a_)?NumericQ, (b_)?NumericQ] := NIntegrate[a*x + b, {x, 0, 1}];
g[a_] := NIntegrate[Hold[f[a, y]/(1 + f[a, y])], {y, -1, 1}];
У меня работает без ошибок...

Спасибо!

Не понимаю, правда, почему заработало - вроде бы, Hold должна препятствовать преобразованиям того, что стоит у нее в аргументе, но не значения переменных. Т.е. если в функцию передается что-то символьное, числа из символьного значения Hold сделать не может...

exTail
Странно, но выполнение следующего кода у меня вовсе не приводит к сообщению об ошибке (хотя ранее, вроде, приводило):

f[(a_)?NumericQ, (b_)?NumericQ] := NIntegrate[a*x + b, {x, 0, 1}];
g[a_] := NIntegrate[f[a, y]/(1 + f[a, y]), {y, -1, 1}];
g[2]

То ли ошибки и не было, то ли я не знаю...

Люди,помогите,кто может.Такая проблема: использую NMinimize и в нем в качестве одного из условий записан текст функции (иначе не получается), так вот, нужно,чтобы это условие вычислялось только тогда,когда будет найдено конкретное значение переменных,а не в общем виде, иначе просто не хватает памяти.Пробовала с помощью Evaluate задать порядок вычисления, но,видимо, для такого случая оно не работает
Подскажите,плиз,что делать.
Для наглядности хоть на таком примере вида:
NMinimize[{
x1^2 - (x2 - 1)^2, (Print["x1=", x1, " x2=", x2];
x1^2 + x2^2 <= 4)}, {x1, x2}]

(т.е. нужно, чтоб условия с выводом применялись уже для каких-то конкретных значений переменных)

Цитата:

Для наглядности хоть на таком примере вида:

Пример не слишком нагляден. Непонятно, зачем внутрь минимизируемой функции засовывать Print[]?!
Тем не менее, даже такую кривую задачу можно решить, например, так:
[no]f[x1_?NumericQ, x2_?NumericQ] := (Print["x1=", x1, " x2=", x2];
x1^2 + x2^2 <= 4; x1^2 - (x2 - 1)^2)
NMinimize[{f[x1, x2]}, {x1, x2}][/no]
Понимаю, что это почти бред, но интерпретировать вашу задачу разумным образом крайне сложно. Если функция просто должна выдавать разные значения в зависимости от аргументов - используйте кусочно-заданные функции. Если нужно печатать промежуточные значения - отталкивайтесь от моего решения или используйте EvaluationMonitor.
А вообще, свою цель следует формулировать яснее...

Есть такой вопрос насчет вычисления функций, которые переданы как параметр. Простой пример: хочу написать функцию ExportFunction, которая строит и экспортирует массив в формате x,y. В качестве аргумента у нее будут произвольная функция f[..., x,...], ее аргумент x, интервал и еще какие-то параметры.

ExportFunction[f_, {x_, x1_, x2_, n_}, file_] := Export[file, Table[{p, f /. x->p}, {p, x1, x2, (x2 - x1)/n}] // N, "Table"]

Такой код проходит для простых функций. Однако, если функция f достаточно сложная, например, содержит аргумент как предел численного интегрирования, то этот код не работает. Если не передавать функцию в качестве аргумента, а делать все руками на встроенных функциях:
Export["filename", Table[{x,f}, {x, x1, x2}]]
то все нормально. Вопрос: как нужно вычислять функцию, передаваемую в качестве параметра? HoldAll[f] /. x->p, Block[{x=p}, f] не помогают.

Griefin
А если завернуть эту функцию в Evaluate[]?

Evaluate тоже не помогает, по-прежнему сыпятся ошибки о нечисловом пределе в NIntegrate. По идее, нужно так, чтобы ReplaceAll не делала над функцией никаких преобразований, а просто подставляла итератор таблицы вместо аргумента. Посмотреть бы как реализована функция Plot, ведь она фактически делает то же самое.

Уважаемые!
Глупый (?) вопрос по Математике

Можно ли сделать так, чтобы выражения (уравнения) можно было вводить в естественном (математическом) виде - так, как на сайте WolframAlpha

Например, y'(x)=sin y(x), y(0)=1

Дальше Enter и решение на экране y(x)=2 arccot...

Приветствую!!! Ребят,а есть какие-нибудь проги по решению :

1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(x,y) в замкнутой области D , заданной системой неравенств...
2. В повторном интеграле изменить порядок интегрирования...
3. Найти момент инерции плоской однородной пластинки D относительно оси ОХ . При вычислении двойного интеграла перейти к полярным координатам....
4. С помощью тройного интеграла вычислить объём тела G ,заданного неравенствами...
5. Найти дивергенцию и ротор векторного поля ,задаваемого векторным произведением...
6. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контору L,пробегаемому против часовой стрелки двумя способами : непосредственно и по формуле Грина...
7. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность, ограничивающую указанное тело G,в направлении внешней нормали к поверхности. Задачу решить двумя способами : непосредственно,вычислив поток через все гладкие куски поверхности,и с помощью теоремы Гаусса-Острадского.

Подскажите пожалуйста, можно ли, как нибудь у Arg[z] изменить диапазон значений, вместо [-Pi,Pi], а то графики обрезаются.

Подскажите, какие программы могут искать из заданных чисел необходимую сумму.

Пример.
Есть множество чисел 10,20,50,4,10,6,...
Мне в итоге нужно получить число 90.
И программа выдает все возможные варианты:
10,20,50,10
10,20,50,4,6

zepterman
Задача решается элементарно:

[no]list = {10, 20, 50, 4, 10, 6};
Select[Subsets[list], Total[#] == 90 &] // Column[/no]

Добавлено:
S4astliff4ik
По поводу п.1: NMinimize в Mathematica как раз для этого. По поводу остального: надо выписывать формулы ручками.