» обсуждение научных вопросов

Alex_B

Цитата:

Я Вам задал вопрос, правильно ли я понял Ваши слова.

А я уже ответил - см. постинг №4 сверху на этой странице.

Level42
Эх не сыпьте сольна раны, я только второй год промышляю, поэтому пока не устаю удивляться. Вы упоминали многозначные функции в смысле тфкп я в прошлом семестре взялся курс читать по ассимптотикам (очень просили, ну я и согласился дурак)
Апогеем этого предприятия (а был это 4 курс) был вопрос кто скажет корень кубический из 8 получит зачет (нужно же как то зачеты ставить) ответы варьировались от не знаю до 2, остальные корни никто не знал больше я на четвертом курсе ничего читать не буду себе дароже
Кстати обсуждаемые Вами вопросы вполне вероятно в акустике и радиофизике тоже прилично раскопаны.
Спасибо!
Удачи

Alex_B

Цитата:

В упор не вижу корня. Покажите. Зачем вводить две компоненты, чтобы при этом оставлять корень?

Бьёркен-Дрелл, т.1, формула (9.52)

Замечание по ходу: любопытно, что Вас не устраивают рассуждения о положительных и отрицательных корнях и вообще всей этой кухне, приведённые в этой книге (в разных местах). Но я здесь не специалист, Вам виднее.

kvk

Цитата:

я в прошлом семестре взялся курс читать по ассимптотикам (очень просили, ну я и согласился

Бедняга. Я Вам искренне сочувствую.

Цитата:

больше я на четвертом курсе ничего читать не буду себе дароже

Вам пришлось расхлёбывать небрежность Вашего предшественника, кто не научил их ТФКП на младших курсах.

Цитата:

Кстати обсуждаемые Вами вопросы вполне вероятно в акустике и радиофизике тоже прилично раскопаны.

Совершенно верно! Они там постоянно интегрируют по контуру, режут плоскость и всё делают через перевал
У нас как-то мат физику читал человек, который долго и плотно занимался распространением радиоволн и асимптотиками. Начал он сразу с интегрирования многозначных функций. Причём сразу сознался, что "в учебниках и задачниках вы это вряд ли найдёте" и показал нам как всё делается. Не успокоился, пока не научил.

(2 Alex_B: прошу прощения за так называемое словоупотребление. Я эта... опять его употребил.).

Level42
У меня тут созрели некоторые вопросы :

Являются ли несобственные унитарные преобразования
полуторолинейными формами ?

Надо ли представлять себе полуторолинейные
формы как слабые пределы операторов ?

Почему полуторолинейная форма не определяет оператора ?

Можно ли ограничив полуторолинейную форму на некотороую подобласть
получить настоящий оператор ?

xalex
Расскажите подробнее, что Вы понимаете под полуторалинейными формами и несобственными унитарными преобразованиями. Можеть быть, это где-то есть в доступной литературе? Короче, откуда ветер дует?

Level42

Про полуторолинейные формы написано например у Мерфи в книге
про C*-алгебры (есть в Колхозе).

Но меня это интересует в контексте теории рассеяния в КТП
(в Рид Саймон т.3, Теория рассеяния Хаага-Рюэля) -
те кто есть кто в списке: S-матрица, матрицы Меллера, отображение J ?
(кто оператор, а кто полуторолинейная форма).

У меня есть подозрение, что про это все написано в
Haag R., Local quantum physics 2nd ed., Springer 1996 ,
но она мне не доступна.

Про несобственные унитарные отображения - написано
в книгах Вайтмана и Сигала по проблемам КТП (обе есть в Колхозе).
Несобственный унитарный оператор - предел унитарных, который не не
является унитарным (обычно одновременно берется и предел областей
определения) те в пределе теряется унитарная эквивалентность представлений.

Добавлено
Level42

Такое впечатление, что "полуторалинейная форма" это грубо говоря оператор в оснащенном гильбертовом пространстве переводящий чисто регулярные векторы
в чисто обобщеннные.

xalex
На все вопросы я, конечно, ответить не могу.
но изложу, что знаю


Цитата:

Являются ли несобственные унитарные преобразования
полуторолинейными формами ?

С каждым ограниченным оператром А однозначно асссоциируется его полуторалинейная форма, которая также является ограниченной. И наоборот, каждая ограниченая форма однозначно определяет линейный (ограниченный) оператор.
Так что если последовательность оператров сходится (равномерно, сильно или слабо), то предельный оператор, будучи ограниченным, однозначно определяет полуторалинейную форму. Как я понял (определения не нашел), несобственное унитарное преобразование - есть предел (вероятно, сильный), унитарных операторов, то есть он ограничен и тем самым определяет полуторалинейную форму (и определяется ею).


Цитата:

Надо ли представлять себе полуторолинейные
формы как слабые пределы операторов ?

Это можно сделать только если форма ограничена. Слабый предел ограниченных оператров ограничен, то есть определяет форму. Если форма неограничена, то ей может взаимно однозначно соответсвововать оператор, но уже неограниченный. Есть теорема о том,что любому замкнутому самосопряженному полуограниченному оператору отвечает замкнутая полуограниченная форма. Эту теорему можно распространить на случай строго аккретивных (секториальных) операторов (у которых спектр лежит в полуплоскости). Для неограниченных операторов понятия слабой, сильной и равномерной сходимости теряют смысл. Однако можно рассмотреть резольвенту оператора A и пробовать подобрать последовательность операторв An, такую, что резольвенты операторов An сходятся к резольвенте А в каком-либо смысле. См. подробнее Рид-Саймон т1. VIII.6, VIII.7 и книгу Т.Като (в колхозе (пока) нет). Сходимость форм при этом не вводится.


Цитата:

Почему полуторолинейная форма не определяет оператора ?

Она должна быть замкнутной и как минимум (строго) аккретивной. Тогда она определяет (замкнутый аккретивный) оператор. Есть два препятствия к тому, чтобы форма определяла оператор - замыкаемость и не-аккретивность. Аккретивность обеспечивает невыроженность метрики, заданной формой, поэтому её отсутствие ведёт к рассмотрению пространств с индефинитной метрикой, где всё не так просто (я опускаю детали). Незамыкаемость же является следствием несогласованности топологий исходногоо пространства и топологии, определяемой формой. Например, форма Ф[f,g] -> f(0)g(0)* (* - комплексное сопряжение), заданная в L2 (-1,1) на множестве непрерывных функций, незамыкаема. Действительно, если {fn} - последовательность функций из C(-1,1), такая что fn -> 0, то Ф[fn,fn] -> 0, но fn не стремится к нулю в пространстве L2(-1,1).


Цитата:

Можно ли ограничив полуторолинейную форму на некотороую подобласть
получить настоящий оператор ?

Это зависит, насколько далеко Вы готовы идти в это процессе. Общих теорем, за исключением известных соотношений включения для областей определения формы и соответствующего оператора, здесь нет. Сужение формы - дело рискованное. Например, в приведенном выше примере, можно сузить форму Ф[,] на плотное в L2(-1,1) множество функций (из C(-1,1)), обращающихся в нуль в нуле. Результатом сужения будет нулевая форма. В случае незамыкаемой формы (если это действительно вопрос, который Вас интересует) обычно стараются выяснить причины её незамыкаемости, поскольку именно в них и кроется суть патологии задачи, а затем попытаться изменить постановку так, чтобы включить в рассмотрение интересующие эффекты. Часто это делается за счёт выхода из исходного пространства в "большее", в котором форма будет уже замыкаемой. Но это - не единственный способ.

Вопросы относительно раздачи ролей в рассеянии Хаага-Рюэля я оставлю без ответа, потому что не знаю. Мне придётся долго читать посоветованные Вами книжки, чтобы понять что там к чему, так что может кто-нибудь из великих Вам ответит?

А книжки мне понравились, спасибо. Мёрфи я не встречал раньше, а жаль. Вайтман тоже, похоже, доступно написан, хотя это, как часто бывает, может быть иллюзией, созданной гладкостью изложения. Наверняка всё там не так просто.


Добавлено
xalex

Цитата:

Такое впечатление, что "полуторалинейная форма" это грубо говоря оператор в оснащенном гильбертовом пространстве переводящий чисто регулярные векторы
в чисто обобщеннные.

Поясните, пожалуйста, что навело Вас на эту мысль?

Добавлено
xalex

Цитата:

Несобственный унитарный оператор - предел унитарных, который не не
является унитарным (обычно одновременно берется и предел областей
определения) те в пределе теряется унитарная эквивалентность представлений.

Я не понимаю, что происходит. Область определения унитарного оператора по определению - всё пространство. Подозрителен также факт неунитарности предела унитарных оператров. Такое возможно, но интересно было бы посмотреть, как он возникает. У Сигала ничего не нашел. Может быть, смотрю не в той книжке?

Level42

Цитата:

У Сигала ничего не нашел. Может быть, смотрю не в той книжке?

Вайтман Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей
Сигал Матемаические проблемы релятививстской физики
(обе в Колхозе)

Добавлено

Цитата:

Как я понял (определения не нашел), несобственное унитарное
преобразование - есть предел (вероятно, сильный), унитарных операторов

Не сильный это точно. Или слабый или его вообще нет - те предел это не оператор.
Вопрос - этот предел полуторолинейная форма (те надо рассматривать последовательность полуторалинейных форм унитарных операторов и смотреть ее предел) или что-то еще хуже ?

Добавлено

Цитата:

что навело Вас на эту мысль?

_http://groups.google.ru/groups?q=+sesquilinear&hl=ru&lr=&ie=UTF-8&selm=b8qg2p%248gj%241%40glue.ucr.edu&rnum=1

xalex

Цитата:

Вайтман Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей
Сигал Матемаические проблемы релятививстской физики

Да, книжки те. Буду листать дальше.


Цитата:

_http://groups.google.ru/groups?q=+sesquilinear&hl=ru&lr=&ie=UTF-8&selm=b8qg2p%248gj%241%40glue.ucr.edu&rnum=1

Понятно. Вы правы. То, что он называет полуторалинейной формой действительно есть оператор, действующий в оснащенном пространстве. На самом деле эта форма вполне может оказаться полуторалиненой формой в смысле данного выше определения. И может случиться, что ей соответствует оператор в основном пространстве. Вопрос взаимоотношений этго оператора с оператором в оснащении - дело тонкое. Я подозреваю, что у Березанского в его "разложенях по собственным функциям самосопряженных операторов" что-то на эту тему должно быть.

Добавлено

Цитата:

Не сильный это точно. Или слабый или его вообще нет - те предел это не оператор.
Вопрос - этот предел полуторолинейная форма (те надо рассматривать последовательность полуторалинейных форм унитарных операторов и смотреть ее предел) или что-то еще хуже ?

Я должен посмотреть

Добавлено
Я был неточен. Формой в смысле данного выше определение она, конечно, не будет, иначе не пришлось бы вводить оснащение. Надо рассматривать её сужения и смотреть, определяют ли они что-нибудь "разумное", что можно связать с оператором в оснащении. Процедура не однозначная. Для самого оператора ещё требуется дополнительная работа по описанию его области определения и как следствие, описанию оснащения. Хорошо, если все получающиеся пространства гильбертовы и оператор удается задать корректно. Это не всегда возможно и в этом случае беда.
Пример: с незамыкаемой формой Ф[f,g] = f(0)g(0)* рассмотренной ранее можно ассоциировать "оператор" F отображающий непрерывную функцию в функционал над C(-1,1) по правилу : g -> g(0)d0, где d0 - дельта функция и g(0) - значение g e C(-1,1) в нуле. тогда формально Ф[f,g] = (f,Ag). Оператор F будет даже ограничен из C(1-,1) в C(-1,1)* и поэтому разумно рассматривать оснащение C(-1,1) < L2(-1,1) < C(-1,1)* (здесь '<' обозначает вложение). Однако форма Ф не определяет никакой оператор в L2(-1,1).

Level42

Цитата:

Да, книжки те.

Сигал - 45-49 стр. и далее
Вайтман - 95-115 стр.

Добавлено
А также
Baez, Segal, Zhou Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory
118 стр. и далее

Цитата:

Формой в смысле данного выше определение она, конечно, не будет, иначе не пришлось бы вводить оснащение.

Вот тут вроде утверждается, что по любой полуторолинейной форме
можно построить оператор в оснащенном гильбертовом пространстве:
Baez, Segal, Zhou Introduction to Algebraic and Constructive Quantum Field Theory
194 стр.
Непонятно только, почему вместо дуального пространства они рассматривают
антидуальное ? Те у них не оснащение, а что-то другое ?

Цитата:

Пример: с незамыкаемой формой Ф[f,g] = f(0)g(0)* ...
Оператор F будет даже ограничен из C(1-,1) в C(-1,1)*

Скорее наоборот - неограничен.Чему у вас равна норма на C(-1,1)* ?

xalex

Цитата:

Цитата:Пример: с незамыкаемой формой Ф[f,g] = f(0)g(0)* ...
Оператор F будет даже ограничен из C(1-,1) в C(-1,1)*

Скорее наоборот - неограничен.Чему у вас равна норма на C(-1,1)* ?

Норма в C(-1,1) стандартная, максимум модуля, норма функционала
d0 в C(-1,1)* - это sup|d0[f]| по всем f e C(-1,1) с нормой ||f||C(-1,1) = 1.
Легко видеть, что ||d0||C(-1,1)* = 1.
Поэтому |Ф[f,g]| = |f(0)g(0)*| < max|f(x)| max|g(x)| = ||f|| ||g||
В том-то и фокус, что оснащение здесь банаховыми пространствами. В это примере можно подобрать и гильбертово оснащение (пр-вами Соболева, например), но замыкаемой формы всё равно не получится.

Цитата:

Норма в C(-1,1) стандартная, максимум модуля, норма функционала
d0 в C(-1,1)* - это max|d0 [f]| по всем f e C(1-,1) с нормой ||f||C(-1,1) = 1
Поэтому |Ф[f,g]| = |f(0)g(0)*| < max|f(x)| max|g(x)| = ||f|| ||g||
В том-то и фокус, что оснащение здесь банаховыми пространствами. В это примере можно подобрать и гильбертово оснащениен (пр-вами Соболева, например), но замыкаемой формы всё равно не получится.

Можно ли ввести на C(-1,1)* структуру гильбертового пространства, согласованного
(в каком-нибудь смысле (например по эквивалентности норм)) с вышеуказанной нормой ?

Мне казалось, что на всем оснащенном гильбертове пространстве (те на правом пространстве тройки) нельзя ввести структуру гильбертового пространства - это нетак ?

Добавлено

Цитата:

Для неограниченных операторов понятия слабой, сильной и равномерной
сходимости теряют смысл.

Насчет того, слабая сходимость для неограниченных операторов теряет
смысл - это вы погорячились - для нее ведь норма не нужна.

Еще несколько вопросов:

Можно ли неограниченный оператор (например самосопряженный),
определенный на некоторой области D гильбертова пространства
доопределить по слабой непрерывности до полуторалинейеой формы
на всем гильбертовом пространстве ?

Бывают ли неограниченные изометрии?;
изометрии, обратные операторы к которым неограничены ?

Добавлено
Кстати Baez, Segal, Zhou Introduction ... - есть в Колхозе.

xalex

Цитата:

Можно ли ввести на C(-1,1)* структуру гильбертового пространства, согласованного
(в каком-нибудь смысле (например по эквивалентности норм)) с вышеуказанной нормой ?

Нет

Цитата:

Мне казалось, что на всем оснащенном гильбертове пространстве (те на правом пространстве тройки) нельзя ввести структуру гильбертового пространства - это нетак ?

Это не так. Можно сделать оснащённое пространство, где все пространства гильбертовы.
Обычно их и используют, если задача позволяет такую формулировку.
Шкала пространств Соболева Hn - типичный пример.
Вот иллюстрация. Рассмотрим H = L2(0,1) с обычным скалярным
произведением и определим в нем ещё одно скалярное произведение (,) равенством
(f,g)+ = (x-1 f, g) на множестве функций, обращающихся в ноль
вместе со всеми производными в окрестности точки x = 0. Это множество плотно в H.
Обозначим его пополнение по норме, индуцированной скалярным произведением
(f,g)+ через H+. Интересный вопрос - справедливо ли включение
H+ < H? Оказывается, да. Потому что нормы |.|+ и |.|L2(0,1) согласованы.
Это значит, что если fn -> 0 в H+, то fn -> 0 в H.
Сопряженное пространство к H+ относительно скалярного произведения (,)
обозначим через H-. Поскольку H+ < H, то выполнено H+ < H < H-.
Проверьте, что H- состоит из всех функций f, для которых x1/2f(x)
квадратично суммируема (оно шире, чем L2(0,1) ).

Я дальше буду говроить о замкнутых или замыкаемых операторах. Если оператор не допускает замыкания, то для него вообще мало что можно сказать, кроме отрицаний.


Цитата:

Насчет того, слабая сходимость для неограниченных операторов теряет
смысл - это вы погорячились - для нее ведь норма не нужна.

Норма не нужна, но для слабой сходимости последовательности операторов {An} нужна сходимость произведений (Af,g) для _всех_ f, g. По теореме о замкнутом графике замкнутый оператор, определённый на всём пространстве, ограничен. Поэтому, говоря, что для замкнутого А существует вектор Af при любом выборе f, вы на самом деле говорите об ограниченности A.


Цитата:

Можно ли неограниченный оператор (например самосопряженный),
определенный на некоторой области D гильбертова пространства
доопределить по слабой непрерывности до полуторалинейеой формы
на всем гильбертовом пространстве ?

Слабая непрерываность здесь не при чём. Если для замыкаемого оператора A выполнено |Af| < c|f| для плотного в H множества векторов f, то оператор A однозначно распространяется на всё пространство до ограниченного оператора (которому конечно соответствует ограниченная форма).

добавлено
Для полуограниченного оператора всегда существует соответсвующая ему форма, область определения которой шире, чем область определения оператора. Если форма ограничена, то и оператор ограничен (и наоборот).


Цитата:

Бывают ли неограниченные изометрии?
изометрии, обратные операторы к которым неограничены ?

Неограниченных (замкнутых) изометрий не бывает. Само название говроит о том, что изометрия сохраняет меру, то есть норму вектора. Бывает, что изометрия задана на подпространстве исходного пространства. В таком случае её обычно продолжают нулём на ортогональное дополнение к её области определения и называют частичной изометрией. В этом случае она, разумеется, не имеет обратного оператора.


Цитата:

Кстати Baez, Segal, Zhou Introduction ... - есть в Колхозе

Спасибо. Что-то он меня сегодня плохо пускает.

Alex_B

Цитата:

Я понимаю, что этот вопрос сложный, поэтому разобьем его на два:
1) о понятии собственного вектора одного оператора в непрерывном спектре и
2) о совпадении собственных векторов для двух операторов.

Видимо, придётся говорить без обиняков и только правду.
К сожалению, точные определения понятий, имеющих отношение
к непрерывному спектру, не так-то просто сформулировать,
и было потрачено немало усилий, чтобы сделать эти определения
корректными. Полученная в результате теория не оперирует
с "собственными векторами непрерывного спектра" вообще.

Итак, любой самосопряжённый оператор A, действующий в
сепарабельном гильбертовом пространстве H однозначно
(с точностью до унитарной эквивалентности)
определяется счетно-аддитивной проекторозначной функцией
множеств E(), заданной на сигма-алгебре E-измеримых
подмножеств вещественой оси. Функция E() называется
спектральной мерой оператора A. Расшифровка здесь такова:
E() - есть отображение из множества E-измеримых подмножеств
вещественной оси в множество ортопроекторов, действующих
в пространстве H. Спектр оператора A совпадает с supp E -
- носителем меры E(). [supp E - носитель меры E, то есть
наменьшее (замкнутое) подмножество, дополнение к которому
имеет нулевую E-меру].

Зная спектральную меру, можно построить "функциональную модель"
оператора А. Такой моделью называют оператор умножения,
действующий в пространстве L2 вектор-функций,
квадратично суммируемых по мере Et, тесно
связанной с мерой E(). Её описание я дам позже.

Для иллюстрации можно представить себе ситуацию, когда
точка x0 e supp(E) является изолированнной
точкой (атомом) меры. Иначе говоря, x0 можно
окружить маленьким интервалом, в котором, кроме самой x0,
точек из supp(E) нет. В этом случае спектральный проектор,
отвечающий x0 - это в точности проектор E({x0})
на собственное подпространство, отвечающее собственному значению x0.
Обратите внимание на фигурные скобки, в которые я заключил точку x0.
Это - напоминание о том, что E() - не функция точки, а функция множества.
Почувствуйте разницу.
E({x0}) - есть "значение фунцкции E() при значении её аргумента,
равном множеству, сотоящему из точки x0".
В пространстве E({x0}) H, называемом "собственным подпространством
оператора A, отвечающим изолированной точке спектра x0", можно,
как и положено, выбрать базис "собственных векторов, отвечающих x0".
Для любого вектора из этого подпространства действие оператора A
сводится к умножению на число x0. То есть x0
- собственное значение. Заметьте также. что это подпространство инвариантно
относительно A, то есть оператор А переводит любой вектор из этого
подпространства в вектор снова принадлежащий этому подпространству.
Из самосопряженности легко видеть, что ортогональное дополнение
к этому подпространству также инвариантно относительно A (проверьте).
В этом случае говорят, что оператор A приводится этим подпространством.

Дальше - больше. Спектральная мера E() называется абсолютно непрерывной
(относительно меры Лебега), если для каждого множества d вещественной оси
такого, что mes(d) = 0 выполнено E(d) = 0 (здесь mes() - мера Лебега на оси).
Очевидно, если точка x0 - собственное значение из предыдущего
рассмотрения, то мера, сосредоточенная в ней (то есть проектор E({x0}))
не равен нулю, в то время как мера Лебега самОй точки x0
равна нулю mes({x0}) = 0. Поэтому при наличии собственных
значений мера E() не является абсолютно непрерывной.
Что делать? Давайте объединим все собственные подпространства
в подпространство Hd и рассмотрим сужение оператора A на
ортогональное дополнение Hd в пространстве H. Заметьте, что
такое дополнение может оказаться нулевым (в случае, когда спектр
оператора А состоит только из собственных чисел). В конечномерном
пространстве (в линейной алгебре) именно это мы и наблюдаем.
Часть оператора A в Hc := H - Hd
является самосопряженным оператором Ac, у которого нет собственных
чисел. Это ещё не всё.

Можно предположить, что оператор Ac имеет спектральную
меру, которая абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, поскольку
у него нет собственных векторов. Это не так. Однако для простоты
предположим, что это правда и оператор Ac действительно имеет
абсолютно непрерывный спектр (то есть его спектральная мера Ec
абсолютно непрерывна). Именно такими являются оператор Лапласа и
оператор КГ (-Delta+m2). Само определение абсолютной
непрерывности теперь означает, что для любой точки x0
вещественной оси выполнено равенство Ec({x0}) = 0,
то есть "собственное подпространство" в указанном выше смысле равно нулю.
Соответственно, нет и собственных векторов, ни обычных, ни обобщенных.
Что делать? Понятно, что надо брать множества ненулевой Лебеговой меры,
чтобы надеяться получить что-то ненулевое. Пусть (a,b) - интервал
вещественной оси. Тогда проектор Ec({(a,b)}) не равен нулю
(то есть подпространство Ec({(a,b)})H ненулевое) только если
пересечение (a,b) и supp (Ec) имеют ненулевую (Лебегову) меру.
Пусть для простоты (a,b) целиком содержится в supp(Ec). Что Вы
можете сказать о соответствующем спектральном подпространстве Ec({(a,b)})H ?
Подумайте, почему выбор ортогонального базиса в нем ничего полезного
нам не даёт.
Теперь о функциональной модели. Как говорилось выше, оператор А
действует как оператор умножения в неком L2 пространстве
вектор-функций квадратично суммируемых по мере Et, которая
на деле есть функция распределения меры E(), то есть Et = E({(-infty, t]}).
"Модельное" гильбертово пространство устроено не вполне очевидно.
Оно представляет собой прямой интеграл (или интеграл фон Неймана)
гильбертовых пространств. Но это нам не понадобится, для наглядности
можно считать, что это просто некое L2 пространство. Оператор А
при этом представляется в виде интеграла по спектральной мере A = Int t dEt,
где интеграл берется по всей оси, а реально - по множеству supp E(). Отсюда
легко понять, что функции от оператора естественно определять в модельном
пространстве формулой f(A) = Int f(t) dEt,
это определение можно оправдать по крайней мере для ограниченных
функций f() и - предельным переходом - для некоторых неограниченных.


Вот и вся наука. "А что сверх этого - то от лукавого". Но вначале пример.

Для иллюстрации рассмотрим конечномерный случай, когда мы имеем
дело с матрицей А и, следовательно, спектр оператора А дискретен.
Пусть {ak} - его собственные числа и {фk}, k=1,...n -
соответсвующие собственные векторы, образующие ортонормированный
базис исходного пространства. Тогда любой вектор f можно разложить
по системе {фk}k=1,...n : f = Sum fk фk,
где fk = (f,фk) - "коэффициент Фурье" вектора f
относительно системы {фk}k=1,...n.
Действуя опратором А на это равенство,
получаем Аf = Sum ak fk фk.
Долго вглядываясь в эту формулу и припоминая сказаное выше,
несложно заключить, что отображение f -> {f1, f2, ... fn}
исходного пространства в L2 пространство
последовательностей n чисел - коэффициентов в разложении f
по системе {фk}k=1,...n - является спектральным.
Спектральная мера сосредоточена на множестве чисел
{ak}k=1,...n и оператор А действует как оператор
умножения на независимую переменную в нём. Подумайте подольше над
этим примером. Я сознательно не даю подробности в надежде,что Вы
разберётесь сами. Не жалейте времени, задача того стОит.

Теперь - от лукавого.
Все лукавые разговоры о "собственных функциях непрерывного спектра"
возникают, когда разговор заходит о дифференциальных операторах.
Заметьте, что обычно говорят о "функциях", а не о "векторах", понимая,
что мы имеем дело не с абстракным гильбертовым пространством, а с
функциональным, элементы которого - функции.
Встает естественный вопрос - поскольку наш оператор унитарно
эквивалентен оператору умножения в неком "модельном"
L2 пространстве, то как явно описать это пространство и как
по возможности найти формулу, переводящую функцию исходного
пространства в функцию модельного? Давайте для примера рассмотрим
оператор -i(d/dx) однократного диференцирования на всей оси, то есть
в пространстве L2(R). Что можно сказать о нем. Первое
наблюдение - это соотношение -i(d/dx)eitx = t eitx.
Похоже, что функции {eitx}t e R являются
собственными фукциями оператора -i(d/dx), отвечющими собственному
значению t e R. Однако они не являются квадратично суммируемыми.
Если действовать формально, то, копируя спектральное разложение
оператора А с дискретным спекторм (матрицы для простоты) в виде
Af = Sum ak(f,фk)фk, где суммирование
ведётся по всем собственным векторам {фk}и соответствующим
собственным числам {ak}, получаем вместо суммы интерграл
по спектральному параметру, то есть Af = Int at(f,фt)фt dt,
где, аналогично конечномерному случаю, ft = (f, фt) = Int f(x)фtdx.
Однако напомню, что фt не является квадратично суммируемой,
поэтому написанное выше скалярное призведение не имеет смысла.
Замечательным достижением является то, что в случае системы
экспонент {eitx}t e R этому выражение можно
придать точный смысл. Сначала определим интеграл Int f(x)eitxdx
для функций с ограниченным носителем (то есть таким, для которых f(x)= 0
при достаточно больших |x|), а затем распространим его по непрерывности
на всё L2(R). Замечательно то, что полученный таким образом
интеграл Фурье (обозначим этот интеграл, делённый для нормировки на
(2Pi)-1/2 через Ф) является изометрией, то есть
|f|L2 = |Фf|L2, где Фf понимается как функция переменной t e R.
При этом Ф-1 g = (2Pi)-1/2 Int g e-itxdt
Проверьте сами, что Ф(-i)(d/dx) = tФ, то есть (-i)(d/dx) = Ф-1 t Ф.
Иначе говря, преобразование Фурье и есть искомая изометрия, дающая
спектральное представление оператора дифференцирования. Ну, эти вещи
Вы должны знать - коррдинатное и импульсное представления.

А дальше всё понятно. В соответсвии с функциональным исчислением
(которое ещё надо обсуждать), для функции F(.) (вещественнозначной,
удовлетворяющей определённым условиям), функцию F(.) от оператора
дифференцирования можно определить через спектральное представлерие:
F(-i(d/dx)) = Ф-1 F(t) Ф. Для вещественнозначной F() этот оператор
самосопряжен, его спектр совпадает с образом функции F(.). Для него
тоже можно построить "систему собственных векторов непрерывного спектра"
(если его спектр непрерывен) - вся процедура сводится к "замене переменных"
в преобразовании фурье и её степень её трудности зависит от функции F().
Легко привести пример функции F(), для которых F(-i(d/dx)) спектр чисто
дискретен (приведите такой пример).
Итак, поскольку операторы (-Delta+m2), (-Delta+m2)1/2
есть функции x-> x2+ m2 и x-> (x2+ m2)1/2
соответственно от оператора диффернцирования, то выписать их действие
в "импульсном" представлении (спектральном представлении оператора
дифференцирования) я предоставляю Вам. Относительно систем "собств.
функций непрерывного спектра" для этих двух операторов легко видеть,
что они даются формулами exp((t-m2)1/2x), exp(-(t-m2)1/2x), t > m2 и
exp((t2-m2)1/2x), exp(-(t2-m2)1/2x), t > m,
где в показателях экспонент преобразований Фурье стоит ни что иное как
обратные функции к x-> x2+ m2 и x-> (x2+ m2)1/2.

Я на этом остановлюсь, так как не знаю, насколько Вам интересны детали.

добавлено
Я поправил выражения дла собственных функций (-Delta+m2) и (-Delta+m2)1/2. Кажется, начинаю понимать Ваши сомнения насчет "лишнего" корня. Если до чего-нибудь дойду, напишу.
Спасибо.

Level42

Цитата:

Норма не нужна, но для слабой сходимости последовательности
операторов {An} нужна сходимость произведений (Af,g) для _всех_ f, g.

Если оператор определен только на некоторой области
(как это имеет место в случае с неограниченным оператором),
а не на всем гильбертовом пространстве, естественно брать слабый
предел используя вектора только из этой области (а не из всего гильбертова
пространства). Таким образом получаем понятие слабой сходимости для
неограниченных операторов.


Добавлено
Можно ли расклассифицировать все оснащения заданного гильбертова
простространства, которые не приводят к гильбертовой структуре правого
пространства тройки ?

Добавлено
Существует ли такое понятие, как "самосопряженная полуторалинейная форма" ?

xalex

Цитата:

Если оператор определен только на некоторой области
(как это имеет место в случае с неограниченным оператором),
а не на всем гильбертовом пространстве, естественно брать слабый
предел используя вектора только из этой области (а не из всего гильбертова
пространства). Таким образом получаем понятие слабой сходимости для
неограниченных операторов.

Это правдопродобное рассуждение неверно, к сожалению.
Проверять сходимость последовательности операторов на плотном множестве
можно только если эта последовательность равномерно ограничена (в смылсе
операторной нормы). Тогда из сходимости на плотном множестве следует слабая
сходимость. Предельный оператор тоже оказывается ограниченным, разумеется.
Вообще все три вида скходмости - по норме, сильная и слабая вводятся только для ограниченных операторов. И относительно всех трех сходимостей алгебра ограниченных операторов замкнута (то есть предел есть тоже огрниченный оператор).

Вот простой пример в духе предыдущего. Пусть на плотном в L2(0,1) = H
множестве L2,loc(0,1) функций, обращающихся в нуль в окрестности
концов интервала (0,1) задано семейство операторов
At : f -> Dt(x)x-1 f(x), 0 < t < 1, f e L2,loc(0,1),
где Dt(x) - характеристическая функция интервала (t, 1)
Понятно, что для каждой пары f e L2, loc(0,1) ,g e L2(0,1)
limt->0(At f, g) сходится к какому-то числу (интеграл сходится на левом конце так как подынтегральная фунцкия равна нулю в окрестности нуля в силу условия на функцию f). Однако формальный "слабый" предел limt->0At = A0 не является ограниченным оператором, то есть последовательность At расходится. На самом деле нормы |At|
не являются равномерно ограниченными. Легко видеть, что |At| = 1/t.


Цитата:

Можно ли расклассифицировать все оснащения заданного гильбертова
простространства, которые не приводят к гильбертовой структуре правого
пространства тройки ?

Поскольку правое и левые пространства являются взаимно сопряженными,
оба они одновременно гильбертовы или нет.


Цитата:

Существует ли такое понятие, как "самосопряженная полуторалинейная форма" ?

Я склонен думать, что имеется в виду форма, отвечающая самосопряженному оператору.
Заметьте, что оператор в оснащении не самосопряжен (поскольку действует из одного
пространства в другое). Если я не ошибаюсь, существует канонический способ свести
его к самосопряженному в левом или правом пространстве (если они гильбертовы),
но не в основном.

Level42

Цитата:

Проверять сходимость последовательности операторов на плотном множестве
можно только если эта последовательность равномерно ограничена (в смылсе
операторной нормы). Тогда из сходимости на плотном множестве следует слабая
сходимость.

Что значит проверять ? - я же определить хочу.

А именно пусть есть какая-нибудь последовательность неограниченных
операторов A_n , определеных в области D данного гильбертого пространства.
Скажем, что она слабо сходиться к оператору A , если
lim_{n->oo} (x, A_n y) = (x, A y) для всех x, y из D.

Есть ли предел или нет - это уже другой вопрос.

Те вы утверждаете что для неограниченных операторов предела в виде
оператора никогда нет ?

Тогда что будет, если мы назовем пределом этой последовательности не
оператор, а полуторолинейную форму ( , )_A такую что :

lim_{n->oo} (x, A_n y) = (x, y)_A для всех x, y из D.

Те будет ли существовать предел в виде полуторалинейной формы
(не отвечающей естественно никакому оператору на D) ?



Добавлено
Еще вопрос - пусть последовательность неограниченных операторов
A_n такова, что существуют пределы :
lim_{n->oo} (x, A_n y)=A(x, y) для всех x, y из D .

Будет ли всегда тогда так полученная функция A(x, y) полуторалинейной
формой на D или нет ?

Добавлено

Цитата:

Поскольку правое и левые пространства являются взаимно сопряженными,
оба они одновременно гильбертовы или нет.

Я имел ввиду не 2-е, а первое скалярное произведение и попытку продолжения
его на правое пространство тройки с исходного гильбертова пространства (среднего в тройке).

Как расклассифицировать все оснащения заданного гильбертова пространства Н,
находятся ли они в однозначном соотвествии со всеми (самосопряженными)
оераторами в Н ?

Есть ли оснащения, которым не соответствует никакой
оператор ?

Является ли понятие оснащения лиш другим языком для переформулировки
спектральной теоремы ?

Добавлено
Вопрос слегка из другой оперы :

Пусть есть некоторое функциональное пространство с положительной мерой мю(x),
рассмотрим пространство функций F(x) интегрируемых с квадратом по мере
мю(x) . Почему для придания этому прострунству структуры гильбертового
пространства надо использовать интеграл Даниэля X (F, G) :
(наивно вроде и меры мю(x) уже достаточно)

X (F, G) = Интеграл F*(x) G(x) d мю(x)_X ?

xalex

Цитата:

Те вы утверждаете что для неограниченных операторов предела в виде
оператора никогда нет ?

Для неограниченных операторов нет понятия сходимости по норме, сильной и слабой.
Это по определению.
Однако можно рассматривать такие типы сходимости для последовательности
обратных операторов (резольвент), В результате получим то, что называют
резольвентной сходимостью. Для неограниченных операторов есть ещё
сходимость в смысле графика. Основные результатты можно посмотреть в первом
томе Рида-Саймона. Просто почитайте формулировки без доказательств.
Мне ничего не известно о предельном переходе, когда результатом является
форма.


Цитата:

А именно пусть есть какая-нибудь последовательность неограниченных
операторов A_n , определеных в области D данного гильбертого пространства.
Скажем, что она слабо сходиться к оператору A , если
lim_{n->oo} (x, A_n y) = (x, A y) для всех x, y из D.

Конечно определить это можно. Но сможете ли Вы доказать "хорошие" свойства
такого предела? Например, что при переходе к подпоследовательности сходимость сохраняется? Будет ли предел суммы последовательностей равен сумме пределов?
И, наконец, согласовано ли это определение с уже имеющимися определениями
сходимости последовательности ограниченых операторов?
Я подозреваю, что ответы здесь в основном отрицательные, иначе такое
определение давно было бы известно.
Есть результат, который Вам может понравиться. Он приведён в Рид-Саймон,
Теорема VIII.25. Если с.с. оператор А и последовательность с.с. операторов
{An} имеют общее множество D, где все они в существенном
самосопряжены и для любого вектора f из этого множества выполнено
An f -> A f, то An -> A в смысле сильной резольвентной
сходимости.


Цитата:

Тогда что будет, если мы назовем пределом этой последовательности не
оператор, а полуторолинейную форму ( , )_A такую что :

lim_{n->oo} (x, A_n y) = (x, y)_A для всех x, y из D.

Те будет ли существовать предел в виде полуторалинейной формы
(не отвечающей естественно никакому оператору на D) ?

Опять же надо доказывать корректность предела и его согласованность с
имеющимися определениями.
Однако см. Рид-Саймон т1. теоремы S.14, S.16 стр. 373 английского издания
о монотонной сходимости последовательности отраниченнных положительных
форм. Соответсвующие пределы есть опереаторы. Результат, где пределом
форм явлется форма, но не оператор, мне неизвестен.



Цитата:

Еще вопрос - пусть последовательность неограниченных операторов
A_n такова, что существуют пределы :
lim_{n->oo} (x, A_n y)=A(x, y) для всех x, y из D .

Будет ли всегда тогда так полученная функция A(x, y) полуторалинейной
формой на D или нет ?

Думаю, да. В смысле свойства полуторалинейности (линейнойсть и антилинейность
по её аргументам). Однако если результируюшая форма не замыкаема, сделать
ничего хорошего с ней нельзя. Посмотрите пример у Рида-Саймона на стр. 374.

По своему опыту знаю, что в случае форм надо как можно скорее и любой
ценой переходить к операторам. Часто это делается введением на множестве D
скалярного произведения, по которому D было бы (полным) гильбертовым
пространством (см. ниже). Тогда сразу возникает оснащение и соответствующий
оператор. Если структуры скалярного произведения нет, в крайнем случае можно
согласиться на оснащение банаховыми пространствами. Но наука тут тяжелая.


Цитата:

Я имел ввиду не 2-е, а первое скалярное произведение и попытку продолжения
его на правое пространство тройки с исходного гильбертова пространства (среднего в тройке).

Нельзя. Скалярное произведенеие порождает норму, по которой пространство
полно. Продолжать некуда. Однако, существует каноническая изометрия между
правым и левым пространствами тройки (в гильбертовом случае). Называется она
изометрией Березанского (иногда ).


Цитата:

Как расклассифицировать все оснащения заданного гильбертова пространства Н,
находятся ли они в однозначном соотвествии со всеми (самосопряженными)
оераторами в Н ?

Никакой связи между операторами в H и оснащениями H нет. Для заданного
оператора подходящее оснащение подбирается в зависимости от
задачи. Тем не менее, для замкнутого оператора А существует
некое "каноническое" оснащение гильбертовым пространством D+,
совпадающим с областью определения А с нормой |f|+ = (Af,Af)1/2, f e D(A)
и соответсвующим скалярным прозведением. В силу замкнутости А
это пространство полно и плотно вложено в H. Ясно, что это - оснащённое
пространство и оператор А можно понимать как изометрию из D+ в H.
Сопряженный к А ограниченно действует из "правого" пространства D-
в H. Также для положительных операторов "каноническим" оснащениенм можно
считать оснащение, связаное с формой. Но повторю - оснащение зависит от задачи.


Цитата:

Есть ли оснащения, которым не соответствует никакой
оператор ?

Конечно. Операторы и оснащения - разные вещи.


Цитата:

Является ли понятие оснащения лиш другим языком для переформулировки
спектральной теоремы ?

Нет. Для формулировки спектральной теоремы
оснащение не требуется. В случае общего (не дифференциального) оператора
вообще никакого "естественного" оснащения, связанного со спектральной
теоремой, указать нельзя.

Level42

Благодарю за подробнейший и содержательный ответ. Я его повесил в рамочке над своим столом, и теперь он освещает оставшиеся дни моей жизни, придавая им смысл и ставя предо мною цель постичь сию науку. И надеюсь, с Вашей помощью я смогу двигаться по труднопроходимому пути к свету. Через терния к звездам!

Простите, за трехдневное молчание: не было связи. Но зря время не терял и отсканил книжку Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе, Киев, 1988.

Мне бы хотелось в первую очередь войти в проблематику, связанную с попыткой дать корректное и наиболее естественное определение «собственным векторам непрерывного спектра», или как вас теперь называть? Хотелось бы охватить пространство возможных вариантов, свободу для маневра. Какой экстремальный (кратчайший) путь, ведущий к ближайшей цели, Вы бы для меня наметили, если предположить, что теорию множеств и топологию я знаю и все книги доступны? Я имею в виду - составить список авторов, глав, параграфов.

И по содержанию Вашего ответа один уточняющий вопрос. Вопросы, возможно, появятся и другие, но мне нужно время, чтобы осмыслить Ваш ответ.


Цитата:

Зная спектральную меру, можно построить "функциональную модель" оператора А. Такой моделью называют оператор умножения, действующий в пространстве L2 вектор-функций,

А если нам с самого начала дано некое каноническое функциональное пространство (гильбертово пространство координатных функций) и нам нужно дать определение не абстрактного «собственного вектора непрерывного спектра», а сразу определение «собственных функций непрерывного спектра» относительно данного конкретного «координатного представления». Изменит ли это предположение стратегию поиска корректного определения? Другими словами, предположение о наличии функционального пространства сужает ли пространство выбора определения для собственных функций непрерывного спектра? Или еще иначе, предположение о наличии функционального пространства позволит ли нам дать такое определение, которое невозможно дать на языке абстрактного гильбертова пространства?

Остаюсь преданным Вашим учеником.

Alex_B

Цитата:

Благодарю за подробнейший и содержательный ответ. Я его повесил в рамочке над своим столом, и теперь он освещает оставшиеся дни моей жизни, придавая им смысл и ставя предо мною цель постичь сию науку. И надеюсь, с Вашей помощью я смогу двигаться по труднопроходимому пути к свету. Через терния к звездам!

Да.. ну, спасибо за доверие. И за иронию
Ешё непонятно, куда эта дорога Вас заведёт
Я просто сел писать Вам ответ, намереваясь дать кратенькую справку, но по ходу
дела начал осознавать, что написать кратко не получается - слишком многое
пришлось бы замести под ковер. Ну, а когда это стало понятно, останавливаться
было уже поздно. Вот и получилась "портянка", как у музыкантов слишком длинная
партия называется.


Цитата:

Но зря время не терял и отсканил книжку Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе, Киев, 1988.

Вы - молодец! Подозреваю, что xalex будет счастлив, если Вы её заколхозите.
Она у меня когда-то была, но я далёк от этой науки, и я, кажется, сдал её в старую
книгу. А жаль. Сейчас бы мне в неё заглянуть не мешало, чтобы лучше понимать,
о чем мы тут толкуем. Так что я тоже был бы счастлив видеть её там.


Цитата:

Вы бы для меня наметили, если предположить, что теорию множеств и топологию я знаю и все книги доступны? Я имею в виду - составить список авторов, глав, параграфов.

Сложный это вопрос. Попробуйте читать книгу Халмоша "Гильбертово пространство в
задачах" и пятый тома Смирнова, начиная с четвертой главы (при условии, что знаете,
о чем идет речь в предыдущих). Халмоша читайте себе в удовольствие. Я могу
порекомендовать главы 3,4,7,10,13,14, 16-20 для ознакомления, остальные - для
проработки. Смирнова просмотрите внимательно и начните с наиболее интересного
места. Но с одним условием - как только становится непонятно - сразу
останавливайтесь и ищите ответ в материале, изложенном ранее. Также очень хорош
первый том Рида-Саймона, но читать его нелегко. Можете попробовать сразу взять
быка за рога и почитать о собственных функциях с точки зрения оснащённых
пространств в четвертом томе "Обобщенных функций" Гельфанда (и Виленкина), Гл. 1,
параграф 4. Может быть, этого окажется достаточно, чтобы несколько пряснить Ваши
наиболее насущные вопросы. Однако, остерегайтесь попасть в плен иллюзии "знания",
поскольку теория операторов (и тем более функц. анализ) - это намного больше,
чем один параграф сколь угодно хорошей книги.


Цитата:

Или еще иначе, предположение о наличии функционального пространства позволит ли нам дать такое определение, которое невозможно дать на языке абстрактного гильбертова пространства?

Есть два ответа на Ваш вопрос - "абстрактный" и "конкретный".
Абстрактный ответ берется из рассмотрения абстрактного факта о том, что все
(сепарабельные) бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны.
В частности, пространство l2 квадратично суммируемых последовательностей -
гильбертово бесконечномерное, поэтому все, что Вы делаете в пространстве Вашей
задачи, можно переформулировать в терминах l2. Никакой разницы нет.
"Конкретный" подход (который собственно мы всегда и используем) состоит в попытке
всегда дать ответ "в терминах задачи". Попробуйте перевести уравнение
Шредингера в эквивалентную ему задачу в пространстве l2 и Вы увидите,
что на самом деле нас интересуют решения именно этого уравнения, именно функции,
а не какие-то странные построения в пространстве последовательностей.

добавлено
Разумеется, есть вещи, которые специфичны для функций и отсутствуют в теории гильбертовых пространств. Например, вопросы равномерной поточечной сходимости
последовательности непрерывных функций остаются за рамками L2-теории,
поскольку L2 - пространство классов эквивалентности измеримых функций,
различающихся на множестве нулевой меры и понятие непрерывности функции как
элеменета L2 не имеет смысла.


Цитата:

Остаюсь преданным Вашим учеником.

Я стараюсь, стараюсь оправдать, честное слово..

Level42

Нельзя ли всеж как-то прокомментировать ?:

Цитата:

Вопрос слегка из другой оперы :

Пусть есть некоторое функциональное пространство с положительной мерой мю(x),
рассмотрим пространство функций F(x) интегрируемых с квадратом по мере
мю(x) . Почему для придания этому прострунству структуры гильбертового
пространства надо использовать интеграл Даниэля X (F, G) :
(наивно вроде и меры мю(x) уже достаточно)

X (F, G) = Интеграл F*(x) G(x) d мю(x)_X ?

xalex
Если я правильно понял вопрос, то ответ напрашивается: здесь не нужен интеграл Даниеля. К тому же, насколько я знаю, при одних и тех же исходных данных (алгебра и счетно-аддитивная положительная функция на ней) построение интеграла по схемам Даниеля и Лебега приводит к одинаковому результату. Если я не прав, пусть эксперт Level42 меня поправит.

martin03

Цитата:

Если я правильно понял вопрос, то ответ напрашивается:
здесь не нужен интеграл Даниеля.

Однако Гриб-Мамаев-Мостепаненко его тем не менее вводят именно в этой ситуации
(на 32 странице книжки Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях -
есть в Колхозе).

Очень хочется понять зачем.

xalex
Есть подозрение, что мера, о которой идет речь в указанной вами книжке понимается как линейный функционал на некотором топологическом пространстве, а не как счетно-аддитивная функция множества. Но если исходить из такого понимания меры, то для построения интеграла и приходится пользоваться схемой Даниеля. Я книжку до конца не скачал и не знаю, на что они там ссылаются (уж не Бурбаки ли?). В любом случае здесь дело не в том, что именно схема Даниеля позволяет ввести структуру гильбертова пространства. Такие пространства вводятся и с мерой Лебега.
Думаю, что для практических целей достаточно считать, что это интеграл, понимаемый в том смысле, который вам привычнее. Если же вас интересует что-то по серьезнее (например, написание статьи, где такие интегралы будут играть существенную роль), то конечно придется копать более глубоко. К сожалению, на данный момент, у меня нет идей, кроме приведенных общих соображений.

martin03

Цитата:

Я книжку до конца не скачал и не знаю, на что они там ссылаются

40 Гельфанд И. М. Виленкин Обобщенные функции т. 4 1961
41 Наймарк М. А. Нормированные кольца 1968
42 Шилов Г. Е. Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная 1967

martin03

Цитата:

Есть подозрение, что мера, о которой идет речь в указанной вами книжке понимается как линейный функционал на некотором топологическом пространстве, а не как счетно-аддитивная функция множества.

Не эксперт я в этих вещах, уж простите.
Однако, удалось отыскать такое

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Пусть X - полное метрическое пространство и С(X) - банахово пространство
непрерывных ограниченных функций, заданных на Х.
Ограниченым интегралом Даниэля на Х называется линейный функционал
Т: С(Х) -> R, обладающий свойствами:

1. |T(f)| < C |f|oo, f e C(X)
2. fn не убывает и стремится к f почти всюду => T(fn) -> T(f)
для fn, f e C(X).



ЗАМЕЧАНИЕ:
Если Х локально компактно и носители всех fn лежат в (одном и том же) компактном подмножестве, то 1. => 2.

Существует
ТЕОРЕМА:

Если Т() - ограниченный интеграл Даниэля, то существует конечная борелевская
мера mT, такая, что

T(f) = IntX f dmT


Как я понял из книги Гриб-Мамаев-Мостепаненко, интеграл Даниэля им нужен, чтобы
интегрировать по элементам "правого" пространства в оснащении. Ваккумный
функционал определен на "левом" пространстве Omega, где интеграл обычный
(они его даже не определяют точно). Из того, что он на самом деле -
характеристический функционал случайного процесса, по теореме Бохнера следует,
что он - преобразование Фурье некой положительной меры определенной на "правом"
пространстве Omega*.
В L2-пространстве, определённом этой мерой (элементами которого
являются комплекснозначные функцмии, заданные на Omega*)
оператор S(f) действует как оператор умножения, то есть это пространство дает
его спектральное представление. Скалярное произведение в нем - интеграл
(Даниэля) по этой самой мере Бохнера, которая фигурирует в цитированной
выше теореме.

Последующие разговоры о производной Радона-Никодима нужны чтобы по операторам
S(f) определить парные T(f), удовлетворяющие Вейлевским сотношениям.
Кроме того, меры в (2.35) и (2.33) - это одна и та же мера.

Жалко, что нет нужных книжек Наймарка и Шилова-Гуревича

Прям настоящие ученые собрались. Моё почтение. Залезу и я со своим скромным вопросом (чувствую, что надо активнее продвигать идею о необходимости создания научного форума).

Меня интересует вопрос скорее из физики (или астрофизики?):
Почему плотность земли такая маленькая? 5520 кг/м3. Особенно если учесть, что плотность железа - 7800 (если мне не изменяет память), а с ростом давления (в ядре, наверное ирреальные давления) - плотность будет только увеличиваться. Может есть какие-то пустоты? Или неправильные подсчеты?

sailor

Цитата:

Может есть какие-то пустоты? Или неправильные подсчеты?

вопросы по основным параметрам Земли вроди давно устаканились. считается, что она образовалась из окисных и силикатных соединений металов. мантия (гдето до 3000км) это оливин, потом с ростом давления чтото типа шпинеля... высокоплотный кварц...ну вобщем я далёк от минералогии, но это всё минералы и по плотности сравнительно с металлами лёгкие. сейсмика это всё отлисно проверила. ядро (внутреннее - металлическое) по обьёму небольшое.

sailor

Цитата:

(в ядре, наверное ирреальные давления)

Мне казалось, что в ядре как раз почти невесомость.
Вся масса равномерно тянет во все стороны.