» обсуждение научных вопросов

Господа, пишите научный оффтоп сюда!

kvk
Не дождемся У "нас" теплее ....

gvk
Цитата:

...а может быть это потому, что локально все линейно и непрерывно...

Нет, всё по определению - "как Вы яхту назовёте, так она и поплывёт".
Всё началось с матриц. Полином от матрицы - дело понятное. Если матрица имеет обратную (которая, если посмотреть внимательно, есть функция x-> 1/x от исходной), то её отрицательные степени тоже определяются легко (как положительные степени обратной). Ну, а дальше - предельным переходом. Намного элегантнее это делается интегрированием резольвенты по контуру, охватывающему спектр, но мы пойдем путем "через полиномы". Все полученные таким образом операторы по самому своему определению линейны. Теперь по порядку.
Линейность A собственно означает выполнение равенства
A ( aF + bG) = a A F + b A G, где F, G - векторы, и a, b - произвольные числа.
Умножьте это равенство слева на A - получите линейность квадрата A. Умножьте ещё раз - будет линейность куба. И так далее. Далее, легко проверяется, что линейная комбинация линейных операторов A и B есть снова линейный оператор ( a A + b B ) при "естественном" определении суммы операторов и умножения оператора на скаляр. Поэтому все полиномы от линейного оператора - суть линейные операторы. Убедитесь сами, что обратный оператор (понимаемый как отображение f -> решение линейного уравнения Ax = f ) также линеен. Отсюда - линейность кусков ряда Лорана (т.е. с отрицательными степенями). Предельным переходом получаем соотношения линейности для функций оператора, аппроксимируемых такими кусками (это, вообще говоря, некорректное утверждение, так как не всякая функция, аппроксимируемая полиномами, определяет оператор, да и понятие сходимости последовательности операторов ещё надо обсуждать, равно как и линейность предельного перехода, но я опущу детали (затруднения). Вот собственно и всё.

Цитата:

и было неожиданно что нелинейные уравнения решаются с помощью линейных инфинитесимал генераторов. Да и сейчас нетривиально звучит для пролетариата.

Еще как нетривиально.

Ahamemnon

Цитата:

У "нас" теплее ....

Согласен!!

С новосельем всех!
Я чувствую себя виноватым, что небрежным употреблением термина «нелинейный» вызвал такую бурную полемику, хотя предмет моего интереса лежал совсем в другом. Н раз пошла такая пьянка, то хотелось бы разъяснить свою мысль и заодно получить консультацию у корифеев.

1. Конечно, функция от линейного (эрмитова) оператора по определению линейна. Чтобы определение работало, надо чтобы оператор имел полную систему |e) собственных векторов, т.е. был эрмитовым. Тогда действие функции от оператора
f(A) на вектор a будет по определению равен

f(A)a = int (f(e) (e,a) |e), de),

где скобки обозначают скалярное произведение и интегрирование по параметру e.

Но много ли дифференциальных операторов, о которых доказано, что они эрмитовы? С непрерывным спектром достаточно сложные теоремы. Будет ли эрмитовым, например, оператором delta + m**2 ? Он имеет как бы переполненную систему собственных векторов.

2. Независимо от ответа на первый вопрос, говоря о нелинейности я имел в виду нелокальность. Обычная производная функции в точке зависит от значения функции в ее окрестности. Но оператор, который можно представить только в интегральной форме (в том числе и квадратный корень из delta + m**2 будет нелокальным в выше указанном смысле слова.

Спасибо

Alex_B

Цитата:

Но много ли дифференциальных операторов, о которых доказано, что они эрмитовы?

много, на наш век хватит

Цитата:

Будет ли эрмитовым, например, оператором delta + m**2 ?

Да. -Delta + m^2 самосопряжен на своей области определения -
пространстве Соболева W^2_2 (R^n). Его спектр - абсолютно непрерывен (что это такое - отдельный вопрос, важно лишь то, что у него нет собственных векторов, принадлежащих L_2(R^n)) и заполняет всю положительную полуось. "Сдвиг" на m^2 приводит к сдвигу спектра на m^2 вправо, то сеть спектр -Delta + m^2 - луч, начинающийся в точке m^2 и уходящий в плюс бесконечность по вещественной оси. Система его собственных векторов полна в L_2(R^n) (как это понимать - опять отдельная тема, поскольку собственных векторов из L_2(R^n) у оператора нет).


Цитата:

Но оператор, который можно представить только в интегральной форме (в том числе и квадратный корень из delta + m**2 будет нелокальным в выше указанном смысле слова.

Он, скорее, псевдодифференциальный. А это чему-то мешает?

добавлено
Я что-то не понял, как Вы функцию от оператора считаете...

xalex

Я представляю, что в затронутых мной вопросах Вы разбираетесь гораздо лучше меня. Я-то вообще не разбираюсь, но очень интересуюсь. Хотелось бы самому разобраться, но все не хватает времени. Может, Вы в популярной форме объясните, почему квантование поля не может быть проведено на основании волновых функций. Какие принципиальные проблемы встают на этом пути?

Мое замечание о непонятности пространства, в котором действуют полевые операторы, состоит в том, что конкретное пространство состояний (пространство волновых функций, образующих оснащенное гильбертово пространство) в нерелятивистской физике строится для каждой конкретной задачи, исходя из гамильтониана задачи. При квантовании поля (рассмотрим уравнение Клейна-Гордона) стандартный метод квантования предлагает заменить скалярную функцию оператором. При этом ничего не говориться о пространстве, в котором они действуют. Ведь это загадочное пространство по идеи должно иметь не только абстрактное представление чисел заполнения, но и координатное и импульсное по аналогии с пространствами функций в нерелятивистской кв. механике.


Добавлено
Level42

Цитата:

Я что-то не понял, как Вы функцию от оператора считаете

Спасибо за разъяснение.

В подинтегральном выражении стоят три сомножителя: 1) функция от собственного значения, 2) скалярное произведение вектора (a) на собственный вектор |e), соответствующий этому собственному значению и 3) собственный вектор |e).

Я не понял, а почему собственные значения заполняют только положительную полуось. Это мы так оператор урезали по определению? Ведь и экспоненты с отрицательными коэффициентами при t, являются решениями. Это как раз то, что я называл переполненной системой решений. Это не мой термин. Его, кажется, упоминал Ширков. Сейчас ссылку указать не могу.

Alex_B

Цитата:

Ведь это загадочное пространство по идеи должно иметь не только абстрактное представление чисел заполнения, но и координатное и импульсное.

Да имеет - см. например Березанский Ю.М., Кондратьев Ю.Г. Спектральные методы в бесконечномерном анализе Киев, 1988 (в Колхозе отсутствует)

Level42

Цитата:

Он, скорее, псевдодифференциальный. А это чему-то мешает?

Мешает только физической интуиции.

Добавлено
xalex
Спасибо, если там этот вопрос обсуждается, Вы мне сильно помогли.
И независимо от этого. Вы в прошлом посте упомянули, что не получится программа квантования поля на основе волновых функций. Но причину не указали. Хотелось бы узнать ее узнать.

Alex_B
рассматривайте его как интегральный и с интуицеей все должно быть в порядке
Удачи

Alex_B
Есть 2-е разные вещи - релятивистские бозоны и поле Клейна-Гордона.
Чтобы убедиться, что они разные достаточно взять классический предел,
в первом случае получим классические частицы, во втором классическое поле.

Почему тогда вы спросите все их путают.
Да потому, что выбрали систему единиц h перечеркнутое = 1.

Если восстановить зависимость от постоянной Планка, станет ясно,
что она входит в похожие формулы по разному.

kvk
А как же быть с причинностью?
Прелесть уравнения Клейна-Гордона в том, что он Лоренц - инвариантное и решения его не нарушают причинность СТО.

Добавлено
xalex
Вот-вот, уже очень тепло. Классический предел уравнения Клейна – Гордона дает классические частицы со спином 0, если мы будем «правильно» брать классический предел. А для этого надо само уравнение КГ представить как уравнение Шредингера для одной релятивистской частицы. См. Бьеркен; Дрелл. Релятивистская квантовая механика. Том 1. § 47. Нерелятивистский предельный переход в уравнении Клейна – Гордона.

Alex_B

Цитата:

В подинтегральном выражении стоят три сомножителя: ...

тогда всё понятно. но интегрирования всё же наверное берется по спектральному параметру, а не по собственному вектору ( что это вообще такое??).

Цитата:

Я не понял, а почему собственные значения заполняют только положительную полуось.

А Вы рассмотрите одномерный случай.
(Af)(x) = -d2/dx2 f(x)
Возьмем квадратичную форму, то есть
(Af, f) = int (-d2/dx2 f)(x) * f(x) dx
и проинтегрируем по частям. Поскольку f e L2(R2),
значения f на плюс-минус бесконечности равны нулю и внеинтегральный
член пропадает. Остается положительное число, равное || (d/dx) f ||2
Поэтому опрератор A неотрицательный , то есть его спектр лежит на положительной полуоси.

Цитата:

А как же быть с причинностью?

Оператор нелокален по пространственной координате. По временной локальность есть, поскольку динамика описывается второй производной по времени (или первой если свести дело к уравнению Шредингера в пространстве двухкомпонентных вектор-функций). Или я чего-то не так понимаю?

Alex_B
Уравнение Шредингера для релятивистских частиц не Лоренц-ковариантно
- это известный факт. Но мы же не сами операторы наблюдаем.
А со средними операторов по состояниям все в порядке.

Далось же вам это уравнение КГ, да забудьте про него !
Чтобы проквантовать релятивиские бозоны достаточно принципа соответствия,
те берем классический гамильтониан и заменяем в нем p на - i grad .

Аналогом поля Дирака является для заряженных релятивиских бозонов
то 2-х компонентное поле, о котором идет речь в указанной статье.
То что вы считали гамильтонианом на самом деле не гамильтониан, а уравнение
похожее на уравнение Шредингера им не является, но является аналогом
уравнения Дирака.

Грубо говоря (если забыть про необходимость преобразования
типа Фолди-Вутхайзена) это 2-х компонентное поле есть линейная комбинация
волновой функции бозона и комплексного сопряжения волновой функции антибозона.
Непосредственного физического смысла это поле не имеет (точно также как не имеет
его и поле Дирака), но имеет математический - уравнение на него проще, чем 2-а
исходных уравнения Шредингера на бозон и антибозон.

Level42

Цитата:

тогда всё понятно. но интегрирования всё же наверное берется по спектральному параметру, а не по собственному вектору

Да, конечно, я так и написал: интегрирование по параметру e. Собственный вектор так же зависит от параметра e. Я его обозначил |e), или так |e>. Это вектор, который удовлетворяет A |e) = e |e). Или так A |e> = e |e>

Я понял Вас, почему оператор положительный. Да, так и должно быть. Мы сужаем проблему, но я хотел бы продолжить завтра. Теперь свой вопрос я смогу задать более четко.

Спасибо

Добавлено
xalex
То, что Вы говорите, я понимаю. Более того, так обычно излагают традиционный способ квантования поля. Но отсюда еще не следует, что по-другому делать нельзя. В частности, хотелось бы понять Вашу логику, по которой Вы уравнение, похожее на уравнение Шредингера, все же отказываете признать уравнением Шредингера. Тот факт, что он похож на уравнение Дирака, ничего не значит. Ведь и уравнение Дирака и уравнение Максвелла можно представить в форме уравнения Шредингера.

Под уравнением Шредингера здесь мы понимаем уравнение вида
- i dY/dt = H Y
где H – эрмитов оператор, действующий в неком гильбертовом пространстве. Есть еще дополнительное требование локальности в координатном представлении, но об этом сейчас можно не говорить. Естественно, что волновая функция Y может не быть скаляром.

Alex_B

Цитата:

Да, конечно, я так и написал: интегрирование по параметру e.

А-а-а... Я вспомнил!! Бра и кэт векторы!!!
Спасибо!

Alex_B

Цитата:

То, что Вы говорите, я понимаю. Более того, так обычно излагают традиционный способ квантования поля.

Да не поле так квантуют, а релятивистские частицу с античастицей.
Я уже отмечал, что поле это поле, а релятивистские частицы это частицы.
Как квантовать поле написано в книге Березанского-Кондратьева.

Цитата:

В частности, хотелось бы понять Вашу логику, по которой Вы уравнение, похожее на уравнение Шредингера, все же отказываете признать уравнением Шредингера.

Потому, что оно (в отличие от уравнения Шредингера) написано на величину, не
имеющую физического смысла.

А взяв квадрат модуля решения уравнения Шредингера мы получаем вероятность.

xalex

Цитата:

Да не поле так квантуют, а релятивистские частицу с античастицей.

Простите, сразу не уловил Вашу мысль. Значит, энергия (гамильтониан) H релятивистской частицы равен (p^2 + m^2)^(1/2), заменяем p на – i grad и получаем уравнение для релятивистской квантовой частицы спина 0 в форме

- i dY/dt = (- delta + m^2)^(1/2) Y

Теперь я правильно Вас понял?


Цитата:

А взяв квадрат модуля решения уравнения Шредингера, мы получаем вероятность.

1. О физическом смысле квадрата модуля волновой функции. Во-первых, на данной стадии развития нового подхода его может и не быть. Аналогичная ситуация была с уравнением Шредингера для нерелятивистских частиц. Когда оно было предложено и успешно применено для расчета энергетического спектра атома водорода, интерпретации квадрата модуля волновой функции еще не было. Более того, поначалу было предложена ошибочная интерпретация: модуль волновой функции дает плотность вероятности обнаружить частицу в точке.

2. Поскольку в нашем случае волновая функция двухкомпонентная, то аналогом квадрата модуля волновой функции является определенная свертка компонентов, которая в результате дает плотность вероятности, точнее плотность потенциала (математический аналог плотности вероятности, которая может принимать отрицательные значения). Эта обобщенная плотность вероятности сохраняется локально аналогично тому, что имеет место и для нерелятивистской частицы. Физический смысл плотности вероятности, которая может принимать отрицательные значения – отдельный вопрос, и он не должен быть препятствием на пути осуществления программы квантования поля (я буду продолжать употреблять такое выражение, это зависит от смысла, который мы вкладываем в термин «поле»), основанный на волновых функциях релятивистских частиц.

Спасибо за помощь.


Добавлено
Level42

1. Прежде всего, библиографический вопрос. Где наиболее строго доказаны перечисленные Вами свойства оператора -Delta + m^2 ?

2. Теперь можно перейти к рассмотрению оператора (-Delta + m^2)^(1/2).
Какие математические свойства этого оператора по сравнению с предыдущим? В частности, как математики решают проблему возникающей двузначности? Получается так, что первоначальному собственному значению E (m^2 < E) будет соответствовать ДВА собственных значения k и – k при k^2 = E. (Как Вы вставляете сюда верхние и нижние индексы?). При этом собственный вектор для k и – k один и тот же. Получается, пользуясь ассоциацией с комплексным анализом, два листа гильбертова пространства. Это выше я как раз и назвал «переполнением гильбертова пространства».

Спасибо за помощь

Наболело два вопроса:

1) ИЛЬИН В.А., ПОЗНЯК Э.Г. «Линейная алгебра: Учеб. для вузов. — 6-е изд. »
СВЕШНИКОВ А.Г., ТИХОНОВ А.Н. «Теория функций комплексной переменной»
может что еще посоветуете из нового по математическим основам (не)релятивистской квантовой механики? (Ну не завозят к нам новых (>1991) русских книг и все тут!) Вроде суть понимаю и формулы правильно написать могу, а все равно здешнее обсуждение вызывает эффект собаки Павлова

2) Есть ли здесь гуру по ОТО и квантовой гравитации?

p.s. просто у нас в основном перекос на спектроскопию а все остальное держится практически на голом энтузиазме...

Alex_B

Цитата:

Прежде всего, библиографический вопрос. Где наиболее строго доказаны перечисленные Вами свойства оператора -Delta + m^2 ?

Насчет "наиболее полно" я не знаю, но могу порекомендовать Бирман-Соломяк "Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве", глава 8 параграф 6. Там как приложения общей теории рассмотрены оба оператора - КГ и Дирака, причем замечено, что они оба - "квадратные корни" из (-Delta+I), то есть квадрат каждого из них совпадает с (-Delta+I), но оператор КГ есть "настоящий" квадратный корень, определённый в соответствии с функциональным исчислением, и он нелокален, в то время как оператор Дирака не является функцией от (-Delta+I), но зато он локален. За его локальность пришлось заплатить повышением размерности задачи с единицы до четырёх.

Цитата:

как математики решают проблему возникающей двузначности

Нет никакой двузначности. Оператор КГ - есть _положительный_ квадратный корень из (-Delta+I).

Цитата:

Это выше я как раз и назвал «переполнением гильбертова пространства».

Такого термина я никогда не слышал. Однако Ваши соображения имеют аналогию с тем, что называется "нефизическим листом". Имеется в виду ситуация, когда мы считаем спектр, например, оператора двойного дифференцирования на оси (одномерный аналог Лапласиана). Поскольку нам приходится брать квадратный корень из спектрального параметра, то действительно, приходится иметь дело с двулистной римановой поверхностью квадратного корня. Чтобы сделать корень однозначным, проводят разрез вдоль положительной вещественной полуоси (то есть как раз по непрерыввному спектру) и рассматривают спектральный параметр бегающий только по верхнеиу листу. Нижний лист называется "нефизическим". Особенности резольвенты на нем отвечают резонансным состояниям в задаче рассеяния. Мне неизвестно какого-либо доступного изложения этой науки. Если будете искать, ищите термины "нефизический лист", "продолжение резольвенты на нефизический лист", "полюсы Редже". Эта наука была популярна лет двадцать-тридцать назад в связи с теорией рассеяния. Возможно, в книге Альфаро-Редже по потенциальному рассеянию или в каком-нибудь учебнике по квантовому рассеянию можно что-нибудь отыскать.


Добавлено
eriik

Цитата:

может что еще посоветуете из нового по математическим основам (не)релятивистской квантовой

Основы квантовой механики не новы
Мне когда-то очень понравился учебник Ландау-Лифшица по квантовой механике. Но не тот, огромный, а маленький, что-то вроде "краткого курса теоретической физики".
Наверное, он уже давно устарел, но тогда мне было не важно. С математической стороны могу порекомендовать старые добрые "Основы квантовой механики" Дирака
и "Математические основы квантовой механики" фон Неймана. Относительно новейших вещей про квантование полей или частиц или вообще всего, что квантуется, о которых здесь ведётся разговор, ничегошеньки не знаю.

Цитата:

а все равно здешнее обсуждение вызывает эффект собаки Павлова

я в нем вообще только отдельные слова распознаю.

Level42
Спасибо за помощь.

1. Чтобы не осталось сомнения, правильно ли я Вас понял, что (-Delta + m^2)^(1/2) обладает всеми свойствами, которые характеризуют оператор -Delta + m^2 ?


Цитата:

Нет никакой двузначности. Оператор КГ - есть _положительный_ квадратный корень из (-Delta+I).

2. Оператор (-Delta + m^2)^(1/2) есть положительный квадратный корень по определению. Если Вы не возражаете, давайте не будем называть его оператором КГ, потому что в уравнение КГ он не входит. Двузначность возникает не для корня (функции), мы определили функцию, а по определению функция не может быть двузначной. Точно также корень из комплексного числа (z)^(1/2) однозначная функция. В этом нет проблемы. Но…

a. Является ли выбор корня положительным в данном случае математически необходимым? Например, для функции квадратного корня на комплексной плоскости мы могли бы определить и так, чтобы (4)^(1/2) = – 2. Как бы мы не определили однозначную ФУНКЦИЮ, уравнение z^2 = c будет иметь два РЕШЕНИЯ (двузначно) и выражаться через нашу функцию так:
z1 = + (c)^(1/2) и z2 = – (c)^(1/2). А с корнем от оператора ситуация аналогична?

b. Когда Вы переходите от уравнения КГ к уравнению с одним корнем, Вы теряете половину решений. Т.е. уравнение КГ не эквивалентно уравнению с оператором (-Delta + m^2)^(1/2). Поэтому возникает вопрос, как на языке операторов и гильбертовых функциональных пространств корректно описать полный базис решений уравнения КГ? Более правильно, с моей точки зрения, уравнению КГ сопоставить ДВА уравнения с оператором (-Delta + m^2)^(1/2), взятыми с разными знаками. Но еще "более правильно" использовать двухкомпонентную волновую функцию и уравнение в форме уравнения Шредингера. Что Вы об этом думаете?

Спасибо за помощь

Пора переходить на MathML.

TCPIP

Цитата:

Пора переходить на MathML.

А как?

<math>
<mrow>
<mn>3</mn>
<mo>&le;</mo>
<mn>5</mn>
</mrow>
</math>

Не работает.

Alex_B

Цитата:

Чтобы не осталось сомнения, правильно ли я Вас понял, что (-Delta + m^2)^(1/2) обладает всеми свойствами, которые характеризуют оператор -Delta + m^2 ?

Нет. Он является функцией "положительный квадратный корень" от оператора (-Delta+m2), определённым в соответствии с функциональным исчислением самосопряженных операторов, то есть как интеграл от от функции x->sqrt(x) по спектральной мере оператора (-Delta+m2). Его спектр абсолютно непрерывен и заполяет луч с началом в точке m и уходящий вправо на бесконечность.
Вдобавок, он нелокален в отличие от (-Delta+m2).


Цитата:

давайте не будем называть его оператором КГ, потому что в уравнение КГ он не входит.

Мои скудные познания в этой области почерпнуты из Рида-Саймона, где уравнение, в которое он входит, называется "нелинейным уравнением Клейна-Гордона".
Возможно, мы говорим о разных вещах. Что Вы понимаете под КГ уравнением?


Цитата:

Является ли выбор корня положительным в данном случае математически необходимым?

Вы, видимо, хотели спросить "физически необходимым"?
С математической точки зрения оба корня равноправны.
Как Вы оператор определите, то Вы и получите -
от Вас (физиков) зависит, не от оператора


Цитата:

Более правильно, с моей точки зрения, уравнению КГ сопоставить ДВА уравнения с оператором (-Delta + m^2)^(1/2), взятыми с разными знаками.

Как я понимаю, для этого и придуман оператор Дирака. Он имеет обе ветви спектра - положительную и отрицательную - для электронов и позитронов соответствено. Его квадрат совпадает с оператором (-Delta+m2), но он не является его функцией в смысле исчисления самосопряженных операторов. Посмотрите у Бирмана-Соломяка, там на этот счёт всё написано. Мои познания - исключительно оттуда.


Цитата:

Когда Вы переходите от уравнения КГ к уравнению с одним корнем, Вы теряете половину решений.

Решения никуда не теряются, просто Вы рассматриваете один из корней. Если рассмотреть второй, получится аналогичная теория с какой-нибудь аномалией - либо время идет вспять, либо энергия отрицательна, как у позитрона, либо что там ещё было... отрицательная плотность вероятности (что вообще для меня не имеет никакого смысла). Если хотите рассмотреть оба корня, возьмите, например, их прямую сумму, спектр у них будет какой надо - и положительный, и отрицательный, - и посмотрите, что из этого получается, то есть имеет ли полученное образование какой-нибудь физический смысл.

Как я понимаю, взятие корня сводит уравнение второго порядка по времени к уравнению первого порядка, которое решать легче. Результат, полученный для последнего, является также неким результатом для первого. Я склонен думать, что такого рода сведение - некий трюк, помогающий в конечном счёте решить исходную задачу. Имеет ли "физический смысл" оператор, возникающий в редуцированной задаче (с первой производной по времени), это - вопрос не ко мне.

Добавлено
Alex_B

Цитата:

мы определили функцию, а по определению функция не может быть двузначной. Точно также корень из комплексного числа (z)^(1/2) однозначная функция.

Это, вообще-то неверно...


Цитата:

Более правильно, с моей точки зрения, уравнению КГ сопоставить ДВА уравнения с оператором (-Delta + m^2)^(1/2), взятыми с разными знаками. Но еще "более правильно" использовать двухкомпонентную волновую функцию и уравнение в форме уравнения Шредингера. Что Вы об этом думаете?

Я не знаю, что ответить.
Два оператора можно сложить в прямую сумму, как я уже писал. Что из этого получится и почему это "хуже" оператора Шредингера - этого я не знаю. Я уже сознался в своей полной безграмотности, поэтому интуиция у меня не работает, её просто нет. Может быть,
Шрёдингер что-то и описывает. В "классическом" случае, например, в рассеянии Лакса-Филлипса, двухкомпонентная вектор-функция, возникаюшая в уравнении Шредингера (первого порядка по времени) может быть определённым образом "физически" интерпретирована (вернее, не она сама, а её норма). В что это транстлируется для частиц/полей/всегочтоквантуется, - не знаю.

Alex_B

Цитата:

Значит, энергия (гамильтониан) H релятивистской частицы равен (p^2 + m^2)^(1/2), заменяем p на – i grad и получаем уравнение для релятивистской квантовой частицы спина 0 в форме

- i dY/dt = (- delta + m^2)^(1/2) Y

Теперь я правильно Вас понял?

Да.

Если хотите описать в придачу и антибозон - допишите еще одно
точно такое же уравнение Шредингера на волновую функцию этого антибозона
и после этого можете их обоих вторично квантовать по обычным правилам КМ.

Цитата:

как на языке операторов и гильбертовых функциональных пространств корректно описать полный базис решений уравнения КГ?

Это сделать невозможно, поскольку решения уравнения КГ и других тут обсуждаемых уравнений не являются элементами гильбертова пространства, решения это траектории
в гильбертовом пространстве !

Level42

Спасибо за наставление, мой учитель!

Поскольку я – лицо заинтересованное и вопрошающее, а Вы – учащее и поправляющее, то воспринимайте мои повествовательные предложения как вопросительные или как текст, который Вы проверяйте на наличие ошибок и подчеркивайте их красным карандашом, а в конце ставите оценку.


Цитата:

Нет.

Я хотел узнать, являются ли сказанные Вами слова об операторе –Delta + m^2


Цитата:

–Delta + m^2 самосопряжен на своей области определения - пространстве Соболева W^2_2 (R^n). Его спектр - абсолютно непрерывен, что у него нет собственных векторов, принадлежащих L_2(R^n) и заполняет всю положительную полуось. Спектр – Delta + m^2 – луч, уходящий в плюс бесконечность по вещественной оси. Система его собственных векторов полна в L_2(R^n).

приложимыми к оператору (–Delta + m^2) ^(1/2). Поскольку собственные вектора (по определению) у них совпадают, то казалось бы – «да».



Цитата:

уравнение, в которое он входит, называется "нелинейным уравнением Клейна-Гордона". Возможно, мы говорим о разных вещах. Что Вы понимаете под КГ уравнением?

Уравнение Клейна – Гордона принципиально линейное, иначе бы нарушилось фундаментальное свойство квантовой теории – принцип суперпозиции. Оно, по определению, имеет вид

– d2Y/dt^2 = (–Delta + m^2)Y

См, например, Бьеркен; Дрелл. Релятивистская квантовая механика. Том 1. Глава 9. Уравнение Клейна – Гордона. Там же в § 47 представление уравнения КГ в форме уравнения Шредингера.

Кстати, интересно, где конкретно и в каком смысле Рид и Саймон называют «квадратный корень из уравнения КГ» НЕЛИНЕЙНЫМ уравнением? Сейчас я припоминаю, что именно у них встречал такой термин и он всплыл из памяти, когда я упомянул о нелинейности корня, вызвав тем самым горячую дискуссию.



Цитата:

Вы, видимо, хотели спросить "физически необходимым"? С математической точки зрения оба корня равноправны.

Нет, я именно хотел удостовериться, что математических требований к выбору знака нет. Вы рассеяли мои сомнения.



Цитата:

Как я понимаю, для этого и придуман оператор Дирака. Он имеет обе ветви спектра - положительную и отрицательную – для электронов и позитронов соответственно.

Для чего придумывал Дирак свое уравнение, его личные мотивы совсем неважны. Важно то, что его уравнение есть волновое уравнение для релятивистской частицы спина 1/2. То что «Его квадрат совпадает с оператором (– Delta+m^2)» не информативно, потому что просто выражает Лоренц – инвариантность. Если бы этого не было, уравнение Дирака пришлось бы отбросить. Есть аналогичное волновое уравнение для частиц спина 1 и массы равной нулю (для фотона). Это известное волновое уравнение для вектор-потенциала A.

И как имеются уравнения для релятивистских частиц спина 1/2, 1, должно быть независимое от них уравнение для частицы спина 0. И этим уравнением является как раз уравнение КГ. Оно наиболее простое из всех, поэтому мы его и рассматриваем.


Цитата:

он (оператор Дирака) не является его (оператора (– Delta+m^2)) функцией в смысле исчисления самосопряженных операторов

И это понятно, так оператор Дирака несет специфическую информацию о спине 1/2, отсутствующую в (– Delta+m^2).



Цитата:

Решения никуда не теряются

Как же не теряется? Уравнение КГ – второго порядка и зависит от двух произвольных функций, а «корень из уравнения КГ» – первого порядка и зависит от одной произвольной функции. Так что теряется половина решений.



Цитата:

Если рассмотреть второй, получится аналогичная теория с какой-нибудь аномалией – либо время идет вспять, либо энергия отрицательна, как у позитрона, либо что там ещё было

Давайте на данной стадии математического построения отложим вопросы физической интерпретации в сторону. Главное для нас, чтобы не было математических аномалий. А их нет.



Цитата:

«По определению функция не может быть двузначной». Это, вообще-то неверно...

Это несколько уведет нас в сторону от интересного обсуждения, но ради выяснения понятий, которыми мы пользуемся, хотелось бы узнать Вашу точку зрения.

В 20 веке, когда под всю математику подвели единый теоретико-множественный фундамент, определись и понятия, которые стали общими для всей математики. И сейчас для математиков термин «неоднозначная функция» является противоречием в понятиях. Вместо него они употребляют термин «отношение». Или Вы что-то другое имели в виду?

Alex_B

Цитата:

Спасибо за наставление, мой учитель!

Вот уж не ждал-не гадал! Если кто из нас и Учитель, так это уважаемый kvk, который наверное сейчас последних своих двоечников на пересдачах уму-разуму учит.
Общение всегда взаимно, и я учусь от Вас не меньше. чем Вы от меня, поверьте.

Цитата:

Поскольку собственные вектора (по определению) у них совпадают, то казалось бы – «да».

Ну, начнём с того, что у них разный спектр. У (-Delta+m2) о начинается в точке m2 и уходит на бесконечность, у +sqrt(-Delta+m2) он начинается в точке +m. Это - первое, что следует отметить. Отсюда уже ясно, что утверждение "собственные векторы у них совпадают" звучит подозрительно. На самом деле оно неверно в самой своей постановке. Как отмечал уважаемый xalex, эти "вектора" не лежат в гильбертовом пространстве, поэтому их смысл совершенно не понятен, и ещё менее понятен смысл их совпадения . Вопрос отягощается ещё и тем, что однозначно определить "собственные функции непрерывного спектра" как их называют, невозможно. Это видно уже на простом примере (одномерного) интеграла Фурье - Вы можете считать такими функциями семейство экспонент {e+ikx, e-ikx} или семейсто тригонометрических функций {sinkx, coskx}. Оба этих семейства с равным правом называются собтвенными функциями (опратора второго дифференцирования на оси, проверьте), однако никакого универсального критерия, по которому одно можно предпочесть другому не существует. Для конкретных задач такой выбор сделать иногда можно. Например, при рассмотрении нечётных функций пользуются интегралом Фурье в виде "синус-преобразования Фурье", поскольку "тригонометрическая система" оказывается удобнее. Точно так же при рассмотрении спектральных задач, где спектральный парамер может быть комплексным числом, часто удобной оказывается система экспонент, поскольку при комплексном значении k = k1 + i k2, скажем, в верхней полуплоскости, те есть при k2 > 0, функция eikx экспоненциально убывает на бесконечности и, следовательно, входит в L2(R) (по переменной x). При стремлении мнимой части k к нулю, эта функция в каком-то интуитивном смысле "стремится к собственной функции непрерывного спектра" eikx.
Оправдание такого предельного перехода - отдельный разговор.

Возвращаясь к нашим двум операторам, можно сказать только, что оба они самосопряжённые, с абсолютно непрерывным спектром, заполняющим соответсвующие лучи, системы их "собственных векторов" (обобщенных) полны в L2 (термин "полны" требует уточнения) и второй оператор является функцией x -> +sqrt(x) от первого. Вот и всё.


Цитата:

Уравнение Клейна – Гордона принципиально линейное... См, например,

Я посмотрю, если дойдут руки.

Цитата:

Кстати, интересно, где конкретно и в каком смысле Рид и Саймон называют «квадратный корень из уравнения КГ» НЕЛИНЕЙНЫМ уравнением?

У Рида и Саймона во второим томе рассмотрено уравнение
(d2/dt2)Y - Delta Y + m2Y = - z |Y|2 Y
которое нелинейно относительно Y, поскольку таковой является его правая часть.
Левая часть, разумеется, представляет собой линейный оператор
(d2/dt2 - Delta + m2) действующий на вектор Y.


Цитата:

«Его квадрат совпадает с оператором (– Delta+m^2)» не информативно, потому что просто выражает Лоренц – инвариантность.

Правильно ли я понимаю, что "Лоренц-инвариантность уравнения" вида
d2/dt2Y + A Y = что-то нибудь
эквивалентно выполнению равенства
A2 Y = A A Y = (-Delta+m2) Y ??
То есть справедливо ли это для упомянутых вами уравнений для частиц с различными значениями спина?

Цитата:

Как же не теряется? Уравнение КГ – второго порядка и зависит от двух произвольных функций, а «корень из уравнения КГ» – первого порядка и зависит от одной произвольной функции. Так что теряется половина решений.

Уравнение первого порядка своими начальными данными имеет одну двухкомпонентную функцию, которая однозначно представляется через начальные данные исходного уравнения - судя по Вашим словам, - её компоненты есть полусумма и полуразность данных исходной задачи. У Рида-Саймона ещё проще - первая компонента есть начальное значение самой функции, вторая компонета - начальное значение её производной, служащие начальными данными исходной задачи. Просто две функции - начальные данные исходной задачи - группируются в двухкомпонентный вектор.

Цитата:

Это несколько уведет нас в сторону от интересного обсуждения, но ради выяснения понятий, которыми мы пользуемся, хотелось бы узнать Вашу точку зрения.

Это не моя точка зрения, это - сложившееся словоупотребление. Многозначные функции встречаются в теории функций комплексной преременной на каждом шагу. Происходят они из разумного и естественного желания определить обратную функцию. Например, корень n-ой степени из комплексного числа имеет n различных значений, логарифм комплексного числа имеет бесконечно много значений. Посмотрите в любом учебнике по ТФКП. Неким намёком на происходящее может являться абсолютно равноправное существование двух квадратных корней из положительного числа.
То есть уже простейшая функция возведения в квадрат x->x2 своей обратной имеет неоднозначную (двузначную) функцию.

Цитата:

В 20 веке, когда под всю математику подвели единый теоретико-множественный фундамент, определись и понятия, которые стали общими для всей математики. И сейчас для математиков термин «неоднозначная функция» является противоречием в понятиях. Вместо него они употребляют термин «отношение». Или Вы что-то другое имели в виду?

Бурбакизьм!!
Пусть они называют квадратный корень отношением, их дело. Однако взгляните, как я уже сказал, в любой учебник по ТФКП в раздел "многозначные функции" и убедитесь сами.
Про отношения я ничего сказать не могу, но про линейные отношения знаю, что они обобщают понятие линейного оператора. Используются для того, чтобы придать смысл бессмысленным вещам.

Добавлено
xalex

Цитата:

Если хотите описать в придачу и антибозон - допишите еще одно
точно такое же уравнение Шредингера на волновую функцию этого антибозона
и после этого можете их обоих вторично квантовать по обычным правилам КМ.

2 Alex_B
Как я понимаю, первая часть этой цитата из xalex равносильна моему совету рассмотреть прямую сумму положтельного и отрицательного квадратных корней из (-Delta + m2) как оператора задачи. Вторая часть цитаты (про квантование) для меня - потёмки.

Level42

Приветствую Вас, мой учитель!



Цитата:

Отсюда уже ясно, что утверждение "собственные векторы у них совпадают" звучит подозрительно. На самом деле оно неверно в самой своей постановке. Как отмечал уважаемый xalex, эти "вектора" не лежат в гильбертовом пространстве, поэтому их смысл совершенно не понятен.

Я понимаю, что этот вопрос сложный, поэтому разобьем его на два: 1) о понятии собственного вектора одного оператора в непрерывном спектре и 2) о совпадении собственных векторов для двух операторов.

1) «Собственные вектора» в непрерывном спектре не принадлежат к исходному векторному пространству. Но их можно представить в виде форм (линейных функционалов) над исходным векторным пространством. Можно сказать, что «собственные вектора» в непрерывном спектре образуют сопряженное пространство к исходному, «базис» в котором можно выбирать произвольно, потому что он прямо не связан с базисом исходного пространства. Отсюда вопрос: насколько это сопряженное пространство является корректным математическим объектом? Насколько оно прозрачно для математической мысли?

2) Если мы рассматриваем два оператора в непрерывном спектре, то можем поставить вопрос о совпадении – несовпадении базисов их сопряженных пространств. Является ли выбранный базис одного пространства базисом другого? Конечно, речь идет о совпадении с точностью до нормировки. Отсюда возникает вопрос относительно сравнения двух операторов (– Delta + m^2) и (– Delta + m^2)^(1/2).

PS Очень жаль, что xalex нас покинул.



Цитата:

Правильно ли я понимаю, что "Лоренц-инвариантность уравнения

Моя мысль очень простая. Оператор Даламбера – Лоренц-инвариантен. Масса m – Лоренц- инвариантна. Если уравнение состоит из Лоренц-инвариантных выражений (как уравнение КГ) или может быть приведено к такой форме (как уравнение Дирака), то оно Лоренц-инвариантно.



Цитата:

У Рида-Саймона ещё проще – первая компонента есть начальное значение самой функции, вторая компонента - начальное значение её производной, служащие начальными данными исходной задачи.

Тут возникла ошибка с моей стороны: я перенес на Вас точку зрения xalex, что вместо уравнения КГ следует рассматривать «квадратный корень» этого уравнения. Я же защищал точку зрения, что надо рассматривать двухкомпонентную волновую функцию. Отчасти перенос точек зрения был следствием Вашего цитирования Бирмана-Соломяка, где как раз рассматривается «квадратный корень» оператора КГ. Если же Вы берете двухкомпонентную волновую функцию, как это сделано, например, у Рида–Саймона или у Бьеркен–Дрелл, то вопросов НЕТ.



Цитата:

Бурбакизьм!!

И горжусь этим!!!



Цитата:

Это не моя точка зрения, это - сложившееся словоупотребление.

И это – не моя точка зрения, это – сложившаяся традиция. Видимо, у Вас – своя компания, а у меня – своя (из известного анекдота про Маркса и Энгельса). Но, надеюсь, это не мешает нам понимать друг друга.



Цитата:

взгляните, как я уже сказал, в любой учебник по ТФКП

Я так и сделал и вот, что я нашел в «любом» учебнике.


Цитата:

В этой главе мы рассмотрим еще одно из самых основных понятий комплексного анализа – понятие аналитического продолжения. Оно позволит нам, в частности, ввести так называемые многозначные аналитические функции.
Самые простые задачи приводят к необходимости рассматривать многозначные решения. Например, уравнение z = w^2 при любом фиксированном z /= 0 имеет два решения, отличающиеся знаком. Совокупность этих решений – мы обозначим ее (z)^(1/2) – нельзя рассматривать как функцию от z, ибо ФУНКЦИЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ОДНОЗНАЧНА. Попытка отказаться от условия однозначности в определении функции сразу привела бы к значительным неудобствам. В самом деле, какой смысл, например, надо вложить в сумму (z)^(1/2) + (z)^(1/2), если каждое слагаемое принимает два значения? Самые простые действия анализа с такими «многозначными функциями» оказались бы весьма затрудненными. Понятие аналитического продолжения позволяет снять такого рода затруднения.

Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть 1. Глава 3. Аналитическое продолжение. Стр. 137.
[q]

Остаюсь Вашим учеником.


Добавлено
[q]Как я понимаю, первая часть этой цитата из xalex равносильна моему совету рассмотреть прямую сумму положтельного и отрицательного квадратных корней из (-Delta + m2) как оператора задачи.

Не понял необходимости в этом. Если Вы перешли к двухкомпонентной волновой функции, то проблем больше нет. Нет квадратного корня, нет нелокальности, нет потери решений. Или я что-то не догоняю?

Alex_B

Цитата:

Я понимаю, что этот вопрос сложный, поэтому разобьем его на два: 1) о понятии собственного вектора одного оператора в непрерывном спектре и 2) о совпадении собственных векторов для двух операторов.

Я пишу Вам большой и толстый ответ на это тему, который, я надеюсь, прояснит ситуацию с непрерывным спектром, а заодно затронет и другие вопросы теории операторов. Ждите.

Цитата:

И это – не моя точка зрения, это – сложившаяся традиция. Видимо, у Вас – своя компания, а у меня – своя (из известного анекдота про Маркса и Энгельса). Но, надеюсь, это не мешает нам понимать друг друга.

Видимо, да. Вы правы, важно, чтобы мы оба понимали, о чем идет речь.
Однако, я не удержусь заметить, что в цитированном Вами отрывке из учебника Шабата
отдается дань используемому мною словоупотреблению: Цитата:
Оно позволит нам, в частности, ввести так называемые многозначные аналитические функции. Возможно, я старомоден.


Цитата:

Не понял необходимости в этом. Если Вы перешли к двухкомпонентной волновой функции, то проблем больше нет. Нет квадратного корня, нет нелокальности, нет потери решений. Или я что-то не догоняю?

Как я понимаю, уравнение на двухкомпонентную функцию (уравнение Шредингера) как раз и содержит корень из (-Delta+m2)


Цитата:

PS Очень жаль, что xalex нас покинул.

Да, жаль. Может, еще вернется. Задайте ему что-нибудь каверзное, чтобы он не смог удержаться ответить

Alex_B

Цитата:

А как?

Может, в администрацию написать?(batva например) Пущай приладят.

Level42

Цитата:

Я пишу Вам большой и толстый ответ на это тему, который, я надеюсь, прояснит ситуацию с непрерывным спектром, а заодно затронет и другие вопросы теории операторов. Ждите.

Жду с нетерпением. Спасибо за труд.
Цитата:

отдается дань используемому мною словоупотреблению

ТАК НАЗЫВАМЕМОМУ словоупотреблению
Цитата:

Как я понимаю, уравнение на двухкомпонентную функцию (уравнение Шредингера) как раз и содержит корень из (-Delta+m2)

В упор не вижу корня. Покажите. Зачем вводить две компоненты, чтобы при этом оставлять корень?


Цитата:

Задайте ему что-нибудь каверзное, чтобы он не смог удержаться ответить

xalex
Я Вам задал вопрос, правильно ли я понял Ваши слова. Если молчание означает согласие, то ответьте, пожалуйста, какое преимущество уравнения с корнем (корень из ур-ия ГК) перед двухкомпонентным. В частности, адресую к Вам Ваш вопрос. Имеет ли физический смысл волновая функция в уравнении с корнем?