» Задачи по естественно-математической направленности

Viewgg
Так я ведь не против f(x)=1, просто мне казалось, что если
Цитата:

нам нужно найти среднее значение x на отрезке [a;b]

то можно попробовать и без интегрирования.
Ну вот, нарушил обет молчания... Впрочем, о пл..их функциях - ни-ни

Viewgg

Цитата:

Это Вы путаете. dt - дифференциал времени, независимой переменной, то есть, вообще говоря, совершенно любое её приращение (не обязательно малое).

не, ну в общем случае конечно любое, но раз нам требуется точное значение, то ессно понять, что имеется ввиду минимальный предел.


Цитата:

Среднее ускорение за период от T0 до T1:

значит всё-таки вариант int(F/mt)dt
с выражением всей задачи через только одну переменную, правда, тож вопросы были (местами рекурсия казалась), но авось сам раскурочу...

bredonosec, все-таки вариант, предложенный tumber, он и есть правильный. А вот в этой формуле
Цитата:

int(F/mt)dt

выделенная мной буквочка t лишняя.

PapaKarlo
эээ... в смысле, что она за интеграл выведена? Хм.. вообще верно. торможу.

задачка больше разминочная, чем имеющая какой-то другой интерес.
Найти площадь правильного N-угольника со стороной А.
даже возникла мысль попробовать её на время порешать)

COH
Слишком легко
Впишем N-угольник в круг (он же правильный )
Соответсвенно, он будет касаться круг в N-точках. Разобъём N-угольник на треугольники, точка в центре и две соседние точки на дуге. И соответсвенно, таких треугольников будет N-штук. Они одинаковые. И площадь каждого вычислится через сторону а и угол напротив, равный 360°/N.

vertex4
Формула!-) щас за три минуты накидал.
S=N*A2*tg(Pi/N)/2

Добавлено:
и ошибся)

S=[N*A2*сtg(Pi/N)]/4

ага?

PapaKarlo

Цитата:

Так я ведь не против f(x)=1, просто мне казалось, что если
Цитата:
нам нужно найти среднее значение x на отрезке [a;b]
то можно попробовать и без интегрирования.

Ещё раз: формулу, которую Вы пишете вроде как с потолка, на самом деле вы берете из соображений, что x равномерно размазан по этому самому отрезку (что в жизни, вообще говоря, не всегда так ; если же имеется в виду распределение координаты по координатной оси, то кто бы спорил, но это частный случай), и применяете мою формулу. Функция же f(x), которую я упоминал - это своего рода "распределение" (именно в кавычках, ибо интеграл по всей оси не обязан быть равным единице) величины x. Для большей англядности приведу пример: пусть есть палочка, достаточно тонкая, с линейной плотностью d(x), где ось Ox направлена вдоль палочки. Как узнать, где её центр тяжести?

Viewgg

Цитата:

Как узнать, где её центр тяжести?

По рабоче-крестьянски сломать ее нафик.
Где переломится, там и есть центр контрреволюции.

tumber
Ну зачем так прямолинейно... Лучше отвезти на Лубянку, там сразу всё выяснится.


На эту тему вспоминается:

... Как сообщает ТАСС, недавно археологи обнаружили новую мумию в египетском захоронении. Только при помощи специалистов из КГБ удалось выяснить, что это Аменхотеп XVII.
- Скажите, как вам удалось определить?
- Сам признался.

Viewgg
Цитата:

...из соображений, что x равномерно размазан по этому самому отрезку (что в жизни, вообще говоря, не всегда так ; если же имеется в виду распределение координаты по координатной оси, то кто бы спорил, но это частный случай)

Я здесь, по-видимому, чего-то не понимаю. Обычно буквой x обозначают независимую переменную, в физике - пространственную координату. Безусловно, можно допустить неравномерную "размазанность" x вдоль оси, по котрой эта координата отсчитывается, но при этом было бы неплохо уточнить два момента:

1) по отношению к чему определяется эта неравномерность?
2) В каких случаях удобно использовать такую неравномерность?

В случае задачи bredonosec'а речь идет о вычислении среднего значения некоторой функции времени на отрезке, надо полагать, равномерно "размазанной" оси времени t. Как впрочем, и в задаче о нахождении центра масс:
Цитата:

пусть есть палочка, достаточно тонкая, с линейной плотностью d(x), где ось Ox направлена вдоль палочки. Как узнать, где её центр тяжести?

Полагая координату одного из концов палочки равной нулю, а длину палочки L, решение найдем из формулы для нахождения центра масс системы N материальных точек с массами Mi и координатами Xi

Xc = {Sum1N(Xi*Mi)} / {Sum1N(Mi)}

путем предельного перехода (представляя элементарный отрезок палочки с координатой x, длиной dx и массой R(x)dx, где ради исключения путаницы с буквами я заменил обозначение функции распреления линейной плотности вдоль оси Х на R(x)) к интегральной формуле

Xc = {Int0L(xR(x)dx)} / {Int0L(R(x)dx)}

Правда, в данном случае функция R(x) вовсе не является
Цитата:

своего рода "распределением" ... величины x

вдоль оси Х, но функцией от x, описывающей распределение массы палочки вдоль ее оси.

PapaKarlo
Мужик, чего сказать-то хотел?

tumber
Да я и сам не знаю...

PapaKarlo
Ну, я же писал:


Цитата:

если же имеется в виду распределение координаты по координатной оси, то кто бы спорил, но это частный случай)

Под "средним x" понимается в данном случае не среднее значение координаты x на отрезке, разумеется, а именно то, что я написал. Это очень полезное понятие, кроме элементарного примера с центром тяжести есть ещё среднее значение распределений, например, а это уже мощно и полезно.


Цитата:

олагая координату одного из концов палочки равной нулю, а длину палочки L, решение найдем из формулы для нахождения центра масс системы N материальных точек с массами Mi и координатами Xi

Xc = {Sum1N(Xi*Mi)} / {Sum1N(Mi)}

путем предельного перехода (представляя элементарный отрезок палочки с координатой x, длиной dx и массой R(x)dx, где ради исключения путаницы с буквами я заменил обозначение функции распреления линейной плотности вдоль оси Х на R(x)) к интегральной формуле

Xc = {Int0L(xR(x)dx)} / {Int0L(R(x)dx)}

Ну да, хороший физический подход к выводу формулы.


Цитата:

Правда, в данном случае функция R(x) вовсе не является
Цитата:
своего рода "распределением" ... величины x

Ну, стать распределением ей мешает толькко одно: её интеграл в бесконечных пределах не равен единице. Иначе её можно было бы навзвать рапспределением, если хочется.



Цитата:

В случае задачи bredonosec'а речь идет о вычислении среднего значения некоторой функции времени на отрезке, надо полагать, равномерно "размазанной" оси времени t.

Ну, можно сказать и так, наверно, хотя что значит "размазанной", не очень понятно... Понятнее всего тут рассуждать так: <a>=[тождественно]delta v/delta t = ... и без всяких f(t) - ибо здесь сложно на взгляд сказать, кто и как по кому распределен.

Viewgg

Цитата:

Под "средним x" понимается в данном случае не среднее значение координаты x на отрезке, разумеется, а именно то, что я написал.

Если имеется ввиду вот это
Цитата:

Функция же f(x), которую я упоминал - это своего рода "распределение" ... величины x

то вот именно здесь для меня непонятное место. Чтобы прояснить, задам следующие вопросы: что такое в данном случае величина x? Является ли упомянутая функция f(x) функцией именно этой самой величины x? И что эта функция описывает?


Цитата:

физический подход к выводу формулы

Физический подход к выводу формулы для определения чего-то среднего? Или математический подход к выводу формулы физического понятия "координаты центра масса"?


Цитата:

стать распределением ей мешает только одно: её интеграл в бесконечных пределах не равен единице.

Если речь идет об упомянутой
Цитата:

функции распределения линейной плотности вдоль оси Х на R(x)

, то сделать ее интеграл не равным единице могут помешать только: неограниченная длина палочки (и то не факт); неограниченность R(x) при ограниченной длине палочки; неправильно подобранные единицы измерения плотности А вообще упоминание термина "распределение" в сочетании со значением Единица навевает мысль о вероятности...


Цитата:

В случае задачи bredonosec'а

речь идет о среднем значении ускорения как функции от времени, причем интересует среднее значение на ограниченном интервале. В связи с этим для корректности рассуждений о способе вычисления этой величины было бы неплохо дать определение понятию "среднее значение функции на интервале". Я предлагаю "геометрическое определение":

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке x=[a;b]. Тогда среднее значение f(x) на данном отрезке равно высоте прямоугольника с длиной основания |b-a|, равновеликого площади криволинейной трапеции, образуемой отрезком [(a;0);(b;0)], графиком функции f(x) и отрезками [(a;0);(a;f(a))] и [(b;0);(b;f(b))].

Если такое определение подходит, можем выяснить формулу для среднего. Если нет - предлагайте свое.


Упреждая вопросы tumber - уже понимаю чуть больше, чего сказать хотел.

Цитата:

Чтобы прояснить, задам следующие вопросы: что такое в данном случае величина x? Является ли упомянутая функция f(x) функцией именно этой самой величины x? И что эта функция описывает?

Это мне на надо слова проглатывать. Должно читать: "величины, зависящей от x" или "функции x".



Цитата:

Физический подход к выводу формулы для определения чего-то среднего?

Разумеется. Математики, вообще говоря, не должны заботиться об осмысленности определения, только о корректности. Будем говорить, что... - и всё тут, примите как данное. Другой вопрос, что опредедения берутся всё же не с потолка, чтобы такая математика кому-то была нужна.



Цитата:

А вообще упоминание термина "распределение" в сочетании со значением Единица навевает мысль о вероятности...

Конечно!



Цитата:

неправильно подобранные единицы измерения плотности

Ага.



Цитата:

В связи с этим для корректности рассуждений о способе вычисления этой величины было бы неплохо дать определение понятию "среднее значение функции на интервале"

Так мы о среднем значении функции или о среднем значении аргумента? У Бредоносца первый случай как раз, и там надо быть очень аккуратным в определении. А на второй меня занесло просто. Может, не понравилась фраза, что все средние считаются по одной формуле? Ну, это как в том анекдоте про профессора, который сказал: "Я говорю не то, что пишу, пишу не то, что думаю, но думаю я правильно". Разумееется, чтобы посчитать среднее арифметическое двух чисел, скажем, никаких интегралов не надо.


Цитата:

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке x=[a;b]. Тогда среднее значение f(x) на данном отрезке равно высоте прямоугольника с длиной основания |b-a|, равновеликого площади криволинейной трапеции, образуемой отрезком [(a;0);(b;0)], графиком функции f(x) и отрезками [(a;0);(a;f(a))] и [(b;0);(b;f(b))].

Для скалярнорй функции одного аргумента - кто бы спорил. А если рассматривать ускорение как вектор, чем оно и является? Физики выходят из положения проще:

<a>=[def] delta v/delta t (в случае одномерного движения, например, или для проекции на ось x).

<a>=[def] delta v/delta t


Под "дельтой" понимается простецкое "стало"-"было" и ничего больше.


Всё, сейчас докатимся до определения всяких средних для вектор-функции векторного аргумента.

Viewgg

Цитата:

Это мне на надо слова проглатывать.

В математике опасно слова глотать. Того и гляди, проглотишь какую-нибудь "везде колючую" (в смысле, нигде не дифференцируемую) функцию.


Цитата:

Конечно!

Ага...


Цитата:

А если рассматривать ускорение как вектор, чем оно и является?

Так принципиально ничего не поменяется - надо просто подсчитать N интегралов для каждой проекции, а потом из них (интегралов) вектор построить. Что нам стоит дом построить?.. Благо, время - все же не вектор (о машинах времени - ни слова...)

Цитата:

речь идет о среднем значении ускорения как функции от времени, причем интересует среднее значение на ограниченном интервале.

эээ.. не знаю, что именно воспринималось под поиском среднего, но мне было необходимо сделать вроде б простую вещь - свести воедино ускорение, пропорциональное квадрату скорости, и скорость, зависящую от времени и ускорения. То есть, имеются 4 формулы - V=Vo-at (или в общем случае V=at), S=Vot-at^2/2, a=X/m, X=Cx*S*ro*V^2 /2, где переменные - ускорение "а", скорость "V", сила торможения(сопротивления) "Х". И танцуя промеж них надо как-то придумать выражение, позволяющее точно связать величины: начальную скорость, расстояние и время полета. Чтоб имея их, я мог бы, к примеру, найти скорость у мишени, или найти любое из них трех по 2 имеющимся, т.д.

У меня покамест выходит "у попа была собака... и в землю закопал, и надпись написал, что у попа была собака..".

геометрическое определение - да, вполне подходящее, им обычно и пользуюсь.. только что в данном случае оно даст? пока ничего не дало..

bredonosec
Хм... Я, может, неправильно понял обозначения и что спрашивается, но похоже, что у Вас задача Коши, то есть система обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями. Я правильно понял, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости? Если так, тогда даже и не страдайте, насколько мне известно, эту задачу только численными методами (например, схема Рунге-Кутта 4 порядка, если вдруг интересно) решают. В любом случае, для дифуров свои методы, простыми арифметическими и алгебраическими танцами не обойтись.


PapaKarlo

Цитата:

"везде колючую"

Ну, это какая-то функция Дирихле или Римана получается... Ну или нечто из той же оперы (Для тех, кто понимает: K-Meleon - рулит! (ioppp) )

bredonosec

Цитата:

геометрическое определение - да, вполне подходящее, им обычно и пользуюсь.. только что в данном случае оно даст? пока ничего не дало..

Да это мы с Viewgg'ом так зацепились за тему... Конечно, расчет среднего значения функции на интервале - дело плевое, лишь бы сама функция была известна.

Ну, а если
Цитата:

ускорение пропорционально квадрату скорости

то должно получиться дифференциальное уравнение (или система), решая которое(ую), получаем искомую функцию. Надо просто учитывать, что dS/dt=V(t), dV/dt=a(t) ну и т.д.
Ох, давно это было, почти все позабыл...

Ага, значит, не мне одному дифуры мерещатся, Папа Карло тот же вердикт выдал. В любом случае, аналитически эту конкретную задачу я бы ковырять не стал, а начал бы прогать... Ну ли матпакет взять можно.



Цитата:

У меня покамест выходит "у попа была собака... и в землю закопал, и надпись написал, что у попа была собака..".

Да-да, так оно на первый взгляд и выглядит.

Viewgg

Цитата:

Я правильно понял, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости? Если так, тогда даже и не страдайте, насколько мне известно, эту задачу только численными методами (например, схема Рунге-Кутта 4 порядка, если вдруг интересно) решают. В любом случае, для дифуров свои методы, простыми арифметическими и алгебраическими танцами не обойтись.

Единодушно одобрямс! Насчет того, можно ли решить конкректный вид системы нелинейных дифференциальных уравнений аналитически - лучше в справочник заглянуть. Или на прием к специалисту (математику - не подумайте плохого! )

Цитата:

Я правильно понял, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости?

да, именно так. стандартная ф-ла из начального курса а/динамики.

Цитата:

В любом случае, для дифуров свои методы, простыми арифметическими и алгебраическими танцами не обойтись.

Так я и пытался через интегрирование вылезти (еще когда пришла она мне в голову - года 4 назад, а равно и на днях, когда вспомнил случайно о ней), но путаница всё равно..

Цитата:

например, схема Рунге-Кутта 4 порядка, если вдруг интересно

к сожалению, я физмат не оканчивал Мне эти названия как пустой звук.. //хотя, конечно, погуглю, что эт такое//

Цитата:

В любом случае, аналитически эту конкретную задачу я бы ковырять не стал, а начал бы прогать... Ну ли матпакет взять можно.

да я собсно и думал заюзать чего-нить эдакое, хоть с ёксель-мокселя начиная. Только всё равно ведь надобно систему зависимостей вывести, чтоб бааальшая груда ступенек гусеницы не решала только одну узкую задачу, а могла юзаться для более широкого круга задач (находить любое из требующихся, а не только скорость или только время или только дальность)

По каким принципам и формулам вычисляется работа по преодолению сил сопротивления воздуха у летящего тела?

Задача такова:
Тело бросили с высоты h со скоростью V0 под углом к горизонту. В точке падения скорость составила V1. Масса тела m. Найти работу по преодолению силы сопротивления воздуха.

Задача достаточно срочная, на её решение отведено 14 часов начиная с этой минуты.

Brodyaga
Через энергию решать надо. Начальная - сумма кинетической и потенциальной, конечная - чисто кинетическая. Разность между ними и даст искомую работу:

A = m*V0^2/2 + m*g*h - m*V1^2/2

tumber
ага, только векторную форму не забыть Или в скалярной -
| Ay = mV0y2/2 + mgh - mV1y2/2
<
| Ax = mV0x2/2 - mV1x2/2

A=sqrt(Ax2 + Ay2)

bredonosec

Цитата:

только векторную форму не забыть

при чем тут векторная форма когда речь об энергиях?

Цитата:

при чем тут векторная форма когда речь об энергиях?

по идее, да, но при проверке с произвольными численными значениями результат выходит разный.
А работа - вполне зависит от направлений (вектор силы и направление перемещения - если не совпадают, то работа ведь меньше простого произведения).

bredonosec

Цитата:

А работа - вполне зависит от направлений (вектор силы и направление перемещения - если не совпадают, то работа ведь меньше простого произведения).

бррр.. A=F*d*cos \theta
какие компоненты работы?
нужна лишь компонента силы направленная вдоль перемещения d